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Mathématiques Complètes PCSI/PC

Général

Primitives

$\frac{1}{s i n (x)}$ $\Rightarrow$ $\ln | \tan (x / 2) | + C$ sur $] k π; (k + 1) π [$ , $k \in Z$
$\frac{1}{c o s (x)}$ $\Rightarrow$ $\ln | \tan (x / 2 + π / 4) | + C$ sur $] - π / 2 + k π; π / 2 + k π [$ , $k \in Z$
$\frac{1}{((x + b)^{2} + a^{2})}$ $\Rightarrow$ $\frac{1}{a} A r c t a n (\frac{x + b}{a}) + C$ pour $a \neq 0$
$\frac{u^{'} (x)}{\cosh^{2} (u (x))} = (\tanh (u (x)))^{'}$
$\int u^{'} (x) \ln (u (x)) d x = u (x) (\ln (u (x)) - 1) + C$ sur un intervalle où $u (x) > 0$
$n^{3} = n (n - 1) (n - 2) + 3 n^{2} - 2 n$

Polynômes

$x^{2} + A x + B = (x - α_{1}) (x - α_{2})$ donne que $B = α_{1} α_{2}$ et $A = - (α_{1} + α_{2})$ utile lorsque tu connais une racine
Ds l'intervalle J, $λ$ racine de multiplicité paire de $R$ $\Rightarrow$ $R = (X - λ)^{m} S (X)$ avec $m$ pair et $S (λ) \neq 0$ : si $S$ ne s'annule pas au voisinage de $λ$ $\Rightarrow$ $R$ garde un signe constant sur $J$
$P (J) = 0$ $\to$ infinité racines $\Rightarrow$ P=0

Astuces

Une intervalle peut être infini, un segment non
$⌊ x ⌋ \leq x < ⌊ x ⌋ + 1$
$x - 1 < ⌊ x ⌋ \leq x$
$| | x | - | y | | \leq | x + y | \leq | x | + | y$
IPP (intégration par parties) u,v C¹ $[a, b]$
CDV (changement de variable) seg: $φ$ C¹(I,R), f continue sur $φ$ (I), a et b dans I: $\int_{φ (a)}^{φ (b)} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t$
Si $φ$ bij alors peut remplacer a,b par $φ^{- 1} (a)$ , $φ^{- 1} (b)$
CDV int: phi C1(I,R), bij $] a, b [, \to] a^{'}, b^{'} [$
Ordre de priorité ALPES : Arctan/sin/cos, Log, Polynômes, Exponentielle, Sin/cos/tan/sh/ch (+d' $\to$ -d')
Cauchy-Schwarz (CS) : ${(\int_{a}^{b} f (t) g (t) d t)}^{2} \leq (\int_{a}^{b} f (t)^{2} d t) (\int_{a}^{b} g (t)^{2} d t)$
CDV $u = \tan (\frac{t}{2}), \cos t = \frac{1 - u^{2}}{1 + u^{2}}, \sin t = \frac{2 u}{1 + u^{2}}, \tan t = \frac{2 u}{1 - u^{2}}$
Sommes triangle infini $\to$ si $a_{n, k} \geq 0$ ou si la famille est sommable : $\sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} a_{n, k} = \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{n = k}^{\infty} a_{n, k}$
$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$
$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$
$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2}$
$\sum_{k = 1}^{n} k^{4} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1) (3 n^{2} + 3 n - 1)}{30}$
gof surj $\to$ g surj car surjecte de l'extérieur
gof inj $\to$ f inj car injecte de l'intérieur
ITL (Inégalité Taylor Lagrange) $\to$ f $C^{n + 1} (I)$ tq $| f^{(n + 1)} | \leq M$ , $\forall (a, b) \in I^{2}$ : $| f (b) - f (a) - \sum_{k = 1}^{n} \frac{(b - a)^{k}}{k!} f^{(k)} (a) | \leq M \frac{| b - a |^{n + 1}}{(n + 1)!}$
Pascal $\to$ p parmi n = p-1 parmi n-1 + p parmi n-1 mitose ++
Operations licites inégalités $\to$ +/-, mult nb pos ou neg en inversant, mult tàt par termes pos, composer f° stricte croiss ou decroiss en inversant (si pas strict inégalités larges)
Min/max d'un trinôme $a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq 0$ $\to$ dérivée nulle en $x = - \frac{b}{2 a}$

DÉVELOPPEMENTS

$e^{x} \approx \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}$
$\sin (x) \approx \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}$
$\cos (x) \approx \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!}$
$\tan (x) \approx \sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k - 1} 2^{2 k} (2^{2 k} - 1) B_{2 k}}{(2 k)!} x^{2 k - 1}$ , où $B_{2 k}$ est le $2 k$ -ième nombre de Bernoulli
$\arctan (x) \approx \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} \frac{x^{2 k + 1}}{2 k + 1}$
$\frac{1}{1 + x} \approx \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} x^{k}$
$\frac{1}{1 - x} \approx \sum_{k = 0}^{n} x^{k}$ , R=1 sur $C$
$\ln (1 + x) \approx \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k - 1} \frac{x^{k}}{k}$
$\ln (1 - x) \approx - \sum_{k = 1}^{n} \frac{x^{k}}{k}$
Pour $a \in N$ , $(1 + x)^{a} = \sum_{k = 0}^{a} (\binom{a}{k}) x^{k}$
$(1 + x)^{α} = 1 + α x + \frac{α (α - 1)}{2} x^{2} + \dots + \frac{α (α - 1) \dots (α - n + 1)}{n!} x^{n} + o (x^{n})$ avec $α$ non entier
$\cosh (x) \approx \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!}$
$\sinh (x) \approx \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}$
$\frac{1}{\sqrt{1 - x}}$ = $\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{2^{2 n}} (\binom{2 n}{n}) x^{n}$ pour $| x | < 1$ (merci Nollan)

Trigonométrie

cos racisme $\Rightarrow$ il dérive négativement (donc sin positif)
$\sin t + \cos t = \sqrt{2} \cos (t - \frac{π}{4})$
$T a n (a b)$ é, t 'est plus ou moins tom (b) é dessus, hein? Au moins tu ne sera plus $t (A B)$ assé: $t a n (a \pm b) = \frac{t a n (a) \pm t a n (b)}{1 \mp t a n (a) t a n (b)}$
Valeurs cercle trigo : 0,1,2,3,4 diviser par 4, passer à la racine $\to$ 0, $\frac{1}{2}$ , $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , 1

Sommes

Series:

Prod Cauchy $\to$ $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ CVA $\to$ $\sum w_{n}$ avec $w_{n} = \sum u_{k} v_{n - k}$ CVA vers le produit des sommes de $u_{n}$ et $v_{n}$
Somme géo $\to$ pour $q \neq 1$ , $\sum_{k = p}^{n} q^{k} = q^{p} \frac{1 - q^{n + 1 - p}}{1 - q}$ ; pour $q = 1$ , la somme vaut $n - p + 1$

Series entières :

Lemme d'Abel $\to$ $\exists z_{0} \in C^{*}$ tq $(a_{n} z_{0}^{n})$ est bornée $\Rightarrow$ $\forall z$ tq $| z | < | z_{0} |$ , $| a_{n} z^{n} | = O (| \frac{z}{z_{0}} |^{n})$ donc $\sum a_{n} z^{n}$ CVA
Rayon Convergence (RC) $\to$ sup{r pos tq $a_{n} r^{n}$ bornée} donc si $a_{n}$ bornée mais tends pas vers 0 alors R=1
SE $C^{+ \infty}$ sur int ouvert conv $] - R; R [$
$\sum a_{n} z^{n}$ RC=R $\to$ RC pr $z^{2 n}$ est $\sqrt{R}$
$a_{n} \sim b_{n}$ $\to$ rayons de convergence égaux. Si $a_{n} = O (b_{n})$ ou $a_{n} = o (b_{n})$ , alors $R_{a} \geq R_{b}$ .
Série entière dérivée/prim $\to$ à même RC
Produit Cauchy SE $\to$ Le produit de $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ , $\sum_{n = 0}^{+ \infty} b_{n} x^{n}$ de rayons $R_{1}$ , $R_{2}$ pr $| x | < min (R_{1}, R_{2})$ vaut $\sum_{n = 0}^{+ \infty} c_{n} x^{n}$ , où $c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k}$ , et le rayon du produit vérifie $R \geq min (R_{1}, R_{2})$ (en norme pr un complexe)
Intégration et dérivation d'une série entière $\to$ terme à terme sur tout segment inclus dans l'intervalle ouvert de convergence
$\sum (a_{k} + b_{k}) x^{k}$ a $R = m i n (R_{1}, R_{2})$ si $R_{1} \neq R_{2}$ , else $R \geq R_{1} = R_{2}$
f DSE $\to$ $f^{(k)} (x)$ $= \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(n + k)!}{n!} a_{n + k} x^{n}$
Serie Taylor f° $\to$ $a_{n} = \frac{f^{(n)} (0)}{n!}$ par dérivat°/unicité DSE
f im/pair $\to$ $a_{2 n} = 0$ / $a_{2 n + 1} = 0$
$R_{n} (x)_{x \to 0}^{=} o (x^{n})$ par def
TYRI $\to$ $R_{n} (x) = \frac{1}{n!} \int_{0}^{x} (x - t)^{n} f^{(n + 1)} (t) d t$ . Si $f \in C^{+ \infty} (] - r, r [)$ , alors $f$ est DSE sur $] - r, r [$ $\Leftrightarrow$ $\forall x \in] - r, r [$ , $R_{n} (x) \to_{n \to + \infty} 0$ (sinon utiliser ITL maj en v.a.)
Binôme généralisé $\to$ $(1 + x)^{α} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{\prod_{k = 1}^{n} (α - k + 1)}{n!} x^{n}$ pour $| x | < 1$ . Si $α \in N$ , la somme est finie et l'identité vaut sur $R$ .

Fonctions

Général

Si $f \in C^{2} (I)$ : $f$ convexe $\Leftrightarrow f^{″} \geq 0$ sur $I$ , et $f$ concave $\Leftrightarrow f^{″} \leq 0$ sur $I$ . Les conditions $f^{″} > 0$ et $f^{″} < 0$ sont suffisantes pour la stricte convexité et la stricte concavité.
La position par rapport à la tangente est déterminée par le premier terme non nul d’ordre supérieur à 1 du DL
TVI $\to$ si $f$ $C [a, b]$ et $f (a) f (b) < 0$ , alors $\exists c \in] a, b [$ tel que $f (c) = 0$ ; solution unique si $f$ est strictement monotone
TBA $\to$ une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes ; dans $R^{n}$ , tout fermé borné est compact
THM bij $\to$ si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ , alors $f : I \to f (I)$ est bijective et $f^{- 1}$ est continue et strictement monotone
Rolle $\to$ si $f$ $C [a, b]$ , dérivable sur $] a, b [$ et $f (a) = f (b)$ $\Rightarrow$ $\exists c \in] a, b [$ tel que $f^{'} (c) = 0$
EAF $\to$ si $f$ $C [a, b]$ et dérivable sur $] a, b [$ , alors $\exists c \in] a, b [$ tel que $f (b) - f (a) = (b - a) f^{'} (c)$
IAF $\to$ si $| f^{'} | \leq M$ sur un intervalle ( $M$ -lipschitzienne), alors $| f (x) - f (y) | \leq M | x - y |$
Leibniz $\to$ $(f g)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) f^{(k)} g^{(n - k)}$
ITY $\to$ si $| f^{(n + 1)} | \leq M$ entre $a$ et $x$ , alors $| f (x) - \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} (x - a)^{k} | \leq M \frac{| x - a |^{n + 1}}{(n + 1)!}$
TYRI $\to$ $f (x) - \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (y)}{k!} (x - y)^{k}$ = $\int_{y}^{x} \frac{f^{(n + 1)} (t)}{n!} (x - t)^{n} d t$ entre y et x deux variables
TYRI n,n+1 $\to$ $f (n + 1) = \sum_{k = 0}^{N} \frac{f^{(k)} (n)}{k!} +$ $\int_{n}^{n + 1} \frac{f^{(N + 1)} (t)}{N!} (n + 1 - t)^{N} d t$
Carac séquentielle de la limite : $f (x) \to l$ quand $x \to a$ $\Leftrightarrow$ $\forall (u_{n})$ du domaine telle que $u_{n} \to a$ et $u_{n} \neq a$ , on a $f (u_{n}) \to l$
f $C (I)$ $\Leftrightarrow$ en tt pt a $\in$ I, f(x) $\to$ f(a)
D $\Rightarrow$ C et D(n) $\Rightarrow$ C(n-1)
Arcsin 1-, arccos 2- (un peu + moche): $(\arcsin x)^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ , $(\arccos x)^{'} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
C(k) $\Leftrightarrow$ k fois derivable et f(k)(x) C
Difféomorphisme $C^{k}$ : si $f \in C^{k} (I)$ est bijective de $I$ sur $f (I)$ et si $f^{'}$ ne s'annule pas, alors $f^{- 1} \in C^{k} (f (I))$ .
$f = O_{a} (g)$ si $f / g$ est bornée au voisinage de $a$ , et $f = o_{a} (g)$ si $f / g \to 0$ en $a$ , en supposant $g \neq 0$ au voisinage considéré.
DL0 $\Rightarrow$ continue, DL1 $\Rightarrow$ derivable
Prop : Intégrer un DL donne un DL

Suites def. par fonction

$u (n_{0}) \in I$ , I stable f $\Rightarrow$ $u_{n}$ pr $n \geq n_{0}$ ds I est définie
Si $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , $I$ est stable par $f$ et $f (x) \geq x$ pour tout $x \in I$ , alors $(u_{n})$ est croissante.
Si $u_{n + 1} = f (u_{n})$ et $f$ est croissante sur un intervalle stable $I$ , alors $(u_{n})$ est monotone : croissante si $u_{1} \geq u_{0}$ , décroissante si $u_{1} \leq u_{0}$ .
Si $u_{n + 1} = f (u_{n})$ et $f$ est décroissante sur un intervalle stable $I$ , alors $(u_{2 n})$ et $(u_{2 n + 1})$ sont monotones en sens opposés.
Si $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , où f:D→R est continue et $u_{0} \in I$

Etudier f sur $D_{f}$ (mono, croissance,…)
Résoudre eq aux limites $f (a) = a$ , que doit satisfaire éventuelle limite de $u_{n}$
Dét int $I$ stable par f sur lequel f est mono, et tel que $u_{0} \in I$ . On sait alors que $u_{n} \in I$ pour tout $n \geq 0$ . Svnt le tableau de variations de f donne la réponse. ( $\exists$ des cas où on ne peut pas y arriver pour $u_{0}$ , mais pr $u_{1}$ , ou $u_{2}$ )
a) Si $f$ est croissante sur $I$ , alors $(u_{n})$ est monotone ; le sens est donné par le signe de $u_{1} - u_{0}$ . Si $(u_{n})$ est bornée, elle converge vers une limite $l$ vérifiant $f (l) = l$ . Si elle est croissante et non bornée, alors $u_{n} \to + \infty$ .
b) f est décroiss sur $I$ $\Rightarrow$ poser $g = f \circ f$ croissante sur $I$ et $v_{n} = u_{2 n}$ et $w_{n} = u_{2 n + 1}$ alors (vn) et (wn) tq $v_{n + 1} = g (v_{n})$ et $w_{n + 1} = g (w_{n})$ avec g croiss sur $I$ . Étudier (vn) et (wn) comme ds le cas précédent. Rappelons que la suite (un) converge $\Leftrightarrow$ (vn) et (wn) convergent vers la même limite.

SUITES DE FONCTION

CVS $\to$ $\forall x \in J, \forall ϵ > 0, \exists N, \forall n \geq N, | f_{n} (x) - f (x) | < ϵ$
CVU $\to$ $\forall ϵ > 0, \exists N, \forall n \geq N, \forall x \in J, | f_{n} (x) - f (x) | < ϵ$ $\Leftrightarrow$ $sup_{x \in J} | f_{n} (x) - f (x) | \to 0$ , avec $α_{n}$ bornée sur J
CVU ts (= tout segment) $\Rightarrow$ CVS
Thm inversion lim $\int$ sur un segment $\to$ si $f_{n} \to f$ uniformément sur $[a, b]$ et si les $f_{n}$ sont continues, alors $f$ est continue et $\int_{a}^{b} f_{n} \to \int_{a}^{b} f$ .
Dérivat° $C^{p}$ suite de f° $\to$ $f_{n} C^{p}$ , $k \in [[0, p - 1 ∥ 0, p - 1]]$ , $f_{n}^{(k)}$ CVS, $f_{n}^{(p)}$ CVU $\Rightarrow$ $f C^{p}$ et $f_{n}^{(k)}$ CVS $f^{(k)}$ et cas p non
HP: THM inv lim $\to$ $f_{n}$ CVU f et $f_{n} (x)_{x \to a}^{=} b_{n}$ $\Rightarrow$ $\sum b_{n}$ conv et $_{x \to a}^{l i m} f (x) =_{n \to + \infty}^{l i m}_{x \to a}^{l i m} f_{n} (x)$ = $_{n \to + \infty}^{l i m} b_{n}$

SÉRIES DE FONCTIONS

$\sum u_{n}$ CVU (ts) J $\to$ $\sum u_{n}$ CVS et $(R_{n})_{n \geq n_{0}}$ CVU (ts) vers 0 (outil : CSSA $| R_{n} | \leq | u_{n + 1} |$ . puis passage borne sup)
$\sum u_{n}$ CVN $\to$ $\Leftrightarrow$ $\forall u_{n}$ borné et $\sum | | u_{n} | |_{+ \infty}$ conv
CVN Serie TG Un $\to$ $\exists \sum A_{n}$ convergent tq $A_{n}$ positif et $(A n) \geq | u_{n} (x) |$ $\Rightarrow$ $\sum u_{n}$ conv tq Un bornée et $\sum | | u_{n} | |_{i n f}$ conv
THM d' C0 Somme $\to$ $\sum u_{n}$ CVU et $u_{n} C$ $\Rightarrow$ $\sum u_{n} C$
$\sum u_{n}$ CVU et $\forall u_{n}$ lim $a \in I$ $\Rightarrow$ intervertir lim et $\sum$ en a
Inv lim/ $\sum$ pr a $\in I \cup \bar{I}$ $\to$ $\sum u_{n}$ CVU et $\forall n$ , $u_{n} (x)_{x \to a}^{=} l_{n}$ $\Rightarrow$ conv/égal $\sum l_{n} =_{x \to a}^{l i m} (\sum u_{n} (x))$
Intégration terme à terme (tàt) sur segment $\to$ $\sum_{n \geq n_{0}} u_{n}$ CVU $[a, b]$ et $u_{n}$ $C ([a, b])$ $\Rightarrow$ $\sum_{n = n_{0}}^{+ \infty} \int_{a}^{b} u_{n}$ $C^{0}$ et interv $\int$ et $\sum$ (fonctionne aussi a,b infinis)
THM d' $C^{1}$ sur un segment $I$ $\to$ $u_{n}$ $C^{1}$ , $\sum u_{n}$ CVS, $\sum u_{n}^{'} (x)$ CVU (ts) $\Rightarrow$ $\sum u_{n}$ $C^{1}$ et $(\sum u_{n})^{'} = \sum u_{n}^{'}$
THM d' $C^{p}$ sur un segment $I$ $\to$ $u_{n} \in C^{p}$ et $\sum u_{n}^{(p)}$ CVU (ts) I, $k \in [[0, p - 1 ∥ 0, p - 1]], \sum u_{n}^{(k)}$ CVS $\Rightarrow$ $\sum u_{n}$ $C^{p}$ et on peut intervir d' et $\sum$
Comp Série-Int $\to$ f $C$ , mono, positive sur $[N, + \infty [$ $\Rightarrow$ $\sum f$ conv $\Leftrightarrow$ $\int_{N}^{+ \infty} f (t) d t$ conv
Inégalité sur f C, mono, decrois $\to$ $\int_{k}^{k + 1} f \leq f (k) \leq \int_{k - 1}^{k} f$
Critère de Leibniz = CSSA

INTÉGRALES À PARAMÈTRES

Transfo Laplace $\to$ $L (f) (p) = \int_{0}^{+ \infty} f (t) e^{- p t} d t$
Transfo Fourier $\to$ $\hat{f} (ω) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) e^{- i ω t} d t$
Conv Dom interv J $\to$ $f_{n}$ Cpm et CVS f Cpm, $\exists φ (t)$ L1 tq $| f_{n} (t) | \leq φ (t)$ $\Rightarrow$ $f_{n}$ et $f$ L1, $\int_{J} f = \int_{J} l i m (f_{n}) = l i m (\int_{J} f_{n})$
Int tàt généralisé $\to$ $\sum f_{n}$ Cpm CVS vers $f$ Cpm tq $f_{n}$ L1 et $\sum \int | f |$ conv $\Rightarrow$ $f$ L1 et $\int f = \int \sum f_{n} = \sum \int f_{n}$
Conv Dom para $\to$ si $f (x, t) \to_{x \to a} l (t)$ pour tout $t$ et s'il existe $φ \in L^{1}$ telle que $| f (x, t) | \leq φ (t)$ au voisinage de $a$ , alors $l \in L^{1}$ et $lim_{x \to a} \int f (x, t) d t = \int l (t) d t$ .
Thm $C$ sous $\int$ $\to$ si, pour tout $t$ , $x \mapsto f (x, t)$ est continue et si $f$ est localement dominée en $t$ par une fonction intégrable, alors $g (x) = \int f (x, t) d t$ est continue.
Thm d' $C^{1}$ $\to$ si $t \mapsto f (x, t)$ est intégrable, si $x \mapsto f (x, t)$ est $C^{1}$ et si $\partial f / \partial x$ est localement dominée par une fonction intégrable, alors $g (x) = \int f (x, t) d t$ est $C^{1}$ et $g^{'} (x) = \int \frac{\partial f}{\partial x} (x, t) d t$ .
Thm d' $C^{p}$ $\to$ $x \to f (x, t)$ $C^{p}$ , $k \in [0, p - 1], t \to \frac{d^{k} f}{d x^{k}} L^{1}$ , et $t \to \frac{d^{p} f}{d x^{p}}$ $Cpm$ et dom ce dernier $\Rightarrow$ $g : t \to \int f e s t C^{p}$ $e t g^{(i)} : x \to \int \frac{d^{i} f}{d x^{i}} (x) d t$

Probabilités

Événements

$P$ est une probabilité $\Leftrightarrow$ $P (A) \geq 0$ pour tout événement $A$ , $P (Ω) = 1$ , et $P (⨆_{n = 0}^{+ \infty} A_{n}) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} P (A_{n})$ pour toute suite d'événements deux à deux disjoints.
A,B indep $\to$ $P (A \cap B) = P (A) P (B)$
Tribu $A$ sur $Ω$ $\to$ $Ω \in A$ , $A \in A \Rightarrow \bar{A} \in A$ , et toute réunion dénombrable d'éléments de $A$ appartient à $A$ ; les intersections dénombrables y appartiennent aussi.
Plus petite tribu contenant un événement $A$ $\to$ $σ (A) = {\emptyset, A, \bar{A}, Ω}$ ; la plus petite tribu sur $Ω$ est ${\emptyset, Ω}$ .
Sigma additivité (dénombrable) $\to$ si $(A_{n})$ est une suite d'événements deux à deux incompatibles, $P (⋃_{n \in N} A_{n}) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} P (A_{n})$
Sous additivité/inégalité de Boole $\to$ $P (⋃_{n \in N} A_{n}) \leq \sum_{n = 0}^{+ \infty} P (A_{n})$ pour n'importe quels événements
Si $P (A) > 0$ , $P (A \cap B) = P (A) P (B | A)$ ; si, en plus, $A$ et $B$ sont indépendants, alors $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ et $P (B | A) = P (B)$ .
Proba conditionelles $P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ si $P (B) > 0$
Bayes $P (A | B) = \frac{P (B | A) \cdot P (A)}{P (B)}$ si $P (A) > 0$ et $P (B) > 0$
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
Si $P (A) > 0$ et $P (A \cap B) > 0$ , $P (A \cap B \cap C) = P (A) P (B | A) P (C | A \cap B)$ .
Loi conjointe $P_{(X, Y)} (x_{i}, y_{j}) = P (X = x_{i}, Y = y_{j})$ et alors lois X,Y sont loi marginales
$P (X = x_{i}) = \sum_{j = 1}^{q} P (X = x_{i}, Y = y_{j})$ on retouve LM avec LC
Si X,Y indep, loi conjointe = prod lois marginales
Loi faible des grands nombres : pour des variables aléatoires i.i.d. d'espérance finie, la moyenne empirique converge en probabilité vers l'espérance commune.
Loi des probabilités totales : Si $A_{1}, A_{2}, . . ., A_{n}$ sont des événements mutuellement exclusifs et exhaustifs (c'est-à-dire que $A i \cap A j = \emptyset$ pour $i \neq j$ et $\cup_{i = 1}^{n} A_{i} = Ω$ $\Leftrightarrow$ $⨆_{i = 1}^{n} A_{i} = Ω$ ) donc est un SCE : $\forall$ B , P(B)= $\sum P_{A i} (B) P (A i)$
Union événements disjoints $\to$ Proba union est somme probas
Intersection événements indep $\to$ Proba intersect° est prod probas
Thm $C$ (dé)croiss $\to$ $(A_{n})$ (dé)croissant pr l'inclusion $A_{k} \subseteq A_{k + 1}$ (ou inverse) alors $P (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) = lim_{n \to \infty} P (A_{n})$ (sinon intersection)
Complémentaire union $\to$ $\overset{―}{⋃ A_{n}} = ⋂ \overset{―}{A_{n}}$
$\bar{A_{n}}$ mut indep $\to$ $A_{n}$ mut indep

Variables aléatoires

X va $\to$ Im(X) au plus dénombrable (par réunion d'ensembles denombrables), et X=k s'exprime en fonction d'événements
Thm Fubini $\to$ $\forall$ fam sommable $(u_{i, j})$ on peut invertir $\sum$ sur i et sur j
Si $(a_{i})$ et $(b_{j})$ sont sommables, alors $\sum_{i, j} a_{i} b_{j} = (\sum_{i} a_{i}) (\sum_{j} b_{j})$
Conv séries doubles $\to$ $\forall (a_{i, j})$ tq $\forall i \in N$ , $\sum_{j \in N} a_{i, j}$ CVA et $\sum_{i \in N} \sum_{j = 0}^{+ \infty} | a_{i, j} |$ conv alors $(a_{i, j})$ sommable et on peut inverser sommes
VA discrète $\to$ $X (Ω)$ au plus dénombrable
X vad intégrable $\Rightarrow$ $E (X) = \sum_{x_{i}} x_{i} P (X = x_{i})$ est linéaire $E (a X + b) = a \cdot E (X) + b$
Formule de transfert $\to$ si $X$ est discrète et $f (X)$ intégrable, $E (f (X)) = \sum_{x \in X (Ω)} f (x) P (X = x)$ ; de même pour un couple ou un $n$ -uplet discret.
Cauchy-Schwarz proba $\to$ si $X, Y \in L^{2}$ , $E (X Y)^{2} \leq E (X^{2}) E (Y^{2})$ , avec égalité si $X$ et $Y$ sont proportionnelles presque sûrement ; $| C o v (X, Y) | \leq σ (X) σ (Y)$ , avec égalité si $X = a Y + b$ quasi surement
Si $X$ est discrète et admet un moment d'ordre 2, $V (X) = E ((X - E (X))^{2}) = \sum_{x_{i}} (x_{i} - E (X))^{2} P (X = x_{i})$ ; $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ et $V (X) = σ (X)^{2}$ .
V.A. centrée réduite $\to$ V(X)=1 et E(X)=0
Centrer et réduire une VA tq $V (X) \neq 0$ $\to$ $\frac{X - E (X)}{σ (X)}$
König-Huygens $\to$ si $X$ admet un moment d'ordre 2, $V (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} \geq 0$
$X$ admet un moment d'ordre $p$ si $E (| X |^{p}) < + \infty$ , et cela implique l'existence des moments d'ordre $q$ pour $0 \leq q \leq p$
X, Y VADR MO2 $\to$ XY admet MO1
Covariance $\to$ $C o v (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = E ((X - E (X)) (Y - E (Y)))$ ; la covariance est une forme bilinéaire symétrique positive semi-définie, mais pas un produit scalaire sur toutes les variables aléatoires.
$V (X + Y) = V (X) + V (Y) + 2 C o v (X, Y)$
$V (X) = C o v (X, X)$ nulle si X,Y indep
Corrélation $\to$ $C o r r (X, Y) = \frac{C o v (X, Y)}{\sqrt{V (X) V (Y)}}$ lorsque $V (X) > 0$ et $V (Y) > 0$ .
Lemme coalitions $(X_{i})$ VA mut indep $\to$ $\forall f_{i}$ def sur $I m (X_{i})$ , VA $(f_{i} (X_{i}))$ sont indep
Inégalité de Markov $\to$ si $Z \geq 0$ presque sûrement, alors $\forall a > 0, P (Z \geq a) \leq \frac{E (Z)}{a}$ .
Bienaymé-Tchebychev $\to$ si $V (X)$ finie, $P (| X - E [X] | \geq ϵ) \leq \frac{V (X)}{ϵ^{2}} = {(\frac{σ (X)}{ϵ})}^{2}$
Tout VADR a valeurs finies admet une espérance finie
Des variables aléatoires $(X_{i})_{i \in I}$ sont mutuellement indépendantes si, pour toute sous-famille finie $i_{1}, \dots, i_{m}$ et tous boréliens $B_{1}, \dots, B_{m}$ , $P (⋂_{j = 1}^{m} {X_{i_{j}} \in B_{j}}) = \prod_{j = 1}^{m} P (X_{i_{j}} \in B_{j})$ .

Fonctions génératrices

Pr une VA $X$ à valeurs ds $N$ , la f° génératrice $G_{X} (t) = E (t^{X})$ a un RC $\geq 1$ , CVN sur $\bar{D} (0, 1)$ , est $C [0, 1]$ et $C^{+ \infty}] 0, 1 [$
loi X f° gén $\to$ $P (X = n) = \frac{G_{X}^{(n)} (0)}{n!}$ comme TY
E f° gén $\to$ MO1 $\Rightarrow$ $G_{X}^{'} (1) = E (X)$ , MO2 $\Rightarrow$ $G_{X}^{″} (1) = E (X (X - 1)) = E (X^{2}) - E (X)$
V f° gén $\to$ MO2, $V (X) = G_{X}^{″} (1) + G_{X}^{'} (1) - (G_{X}^{'} (1))^{2}$
f° gen X+Y pr X,Y indep $\to$ $G_{X + Y} = G_{X} G_{Y}$

Lois Usuelles

Loi uniforme sur ${1, \dots, n}$ $\to$ $P (X = k) = \frac{1}{n}$ , $E (X) = \frac{n + 1}{2}$ , $V (X) = \frac{n^{2} - 1}{12}$ , $G_{X} (t) = \frac{t}{n} \frac{1 - t^{n}}{1 - t}$ pour $t \neq 1$ , et $G_{X} (1) = 1$ .
Bernoulli $\to$ $P (X = x) = {\begin{cases} p & si x = 1 \\ 1 - p & si x = 0 \end{cases}$ , $E (X) = p$ , $V (X) = p (1 - p)$ , $G_{X} (s) = 1 - p + p s$
Loi binomiale $\to$ $P (X = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}$ , $E (X) = n p$ , $V (X) = n p (1 - p)$ , $G_{X} (s) = (1 - p + p s)^{n}$
Loi de Poisson $\to$ $P (X = k) = \frac{λ^{k} \cdot e^{- λ}}{k!}$ , $E (X) = λ$ , $V (X) = λ$ , $G_{X} (s) = e^{λ (s - 1)}$ avec $λ > 0$
Poisson approxime binomiale $\to$ si $X_{n} \sim B (n, p_{n})$ , $p_{n} \to 0$ et $n p_{n} \to λ$ , alors $X_{n}$ converge en loi vers $P (λ)$ .
Loi géométrique sur $N^{*}$ $\to$ avec $q = 1 - p$ , $P (X = k) = q^{k - 1} p$ , $E (X) = \frac{1}{p}$ , $V (X) = \frac{q}{p^{2}}$ , $G_{X} (t) = \frac{p t}{1 - q t}$ .
$X \sim G (p)$ $\Leftrightarrow$ $P (X > k) = (1 - p)^{k}$ pour $k \in N$ .
Loi géométrique sans mémoire $\to$ $\forall k, n \in N$ , $P (X > k + n ∣ X > k) = P (X > n)$ ; de façon équivalente, conditionnellement à $X > k$ , $X - k$ suit la même loi que $X$ .
Loi de Rademacher $\to$ $P (X = 1) = 1 / 2 = P (X = - 1)$ , $E (X) = 0$ , $V (X) = 1$
Additivité loi de Poisson $\to$ si $X \sim P (λ)$ et $Y \sim P (μ)$ sont indépendantes $\Rightarrow$ $X + Y \sim P (λ + μ)$ .
Formule antirépartition $X$ VARD finie tq $X (Ω) \subset [[0; N]]$ $\to$ $E (X) = \sum_{k = 0}^{N - 1} P (X > k)$
Loi normale $N (μ, σ^{2})$ avec $σ > 0$ $\to$ densité $f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} \exp (- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}})$

Matrices

Général

Matrice compagnon $\to$ $χ_{M} = X^{p} + \sum_{k = 0}^{p - 1} a_{k} X^{k}$ démo $(X I_{p} - M)$ ~ $L_{1} = L_{1} + \sum$ donne P(x) $M = (\begin{matrix} 0 & \dots & 0 & - a_{0} \\ 1 & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ ⋱ & 0 & - a_{p - 2} \\ (0) & 1 & - a_{p - 1} \end{matrix})$
$M^{2} = I_{n}$ $\to$ M est un sym car f° s associé car $s \circ s = i d_{E}$ caract sym
vp de $A^{2}$ si $A$ sym réelle $\to$ $A = P D P^{T}$ avec $P$ orthogonale, donc $A^{2} = P D^{2} P^{T}$ et les valeurs propres de $A^{2}$ sont les carrés des valeurs propres de $A$ .
dev. poly caract $\to$ $λ μ = \frac{(λ + μ)^{2} - λ^{2} - μ^{2}}{2}$ sert quand dev $χ_{A} = X^{n - 2} (X - λ) (X - μ)$ = $X^{n} - (λ + μ) X^{n - 1} + λ μ X^{n - 2}$
Invariants similitude $\to$ tr, det, $χ$ , rg, sp
Une matrice symétrique réelle représente, dans une base orthonormée, un endomorphisme autoadjoint.
det(AB) $\to$ = det(A)det(B)
Trace Proj $\to$ $T r (P) = r g (P)$ car $s p (P) \subset {0, 1}$
$B^{2} = B$ et B sym $\to$ b canon associé B proj $⊥$

Mat orthog (= isométrie EE)

$M \in O_{n} (R)$ $\to$ $M^{T} M = I_{n}$
Si $M \in O_{n} (R)$ , alors $1 = d e t (M M^{T}) = d e t (M) d e t (M^{T}) = d e t (M)^{2}$ , donc $d e t (M) \in {- 1, 1}$ .
$A$ diagonalisable et $s p (A) \subset {- 1, 1}$ $\Rightarrow$ $A^{2} = I$ et $A$ = symétrie. Cela vaut pour une matrice orthogonale dont le spectre $\subset {- 1, 1}$

Réduction

Poly caract $\to$ $χ_{M} = X^{n} - t r (M) X^{n - 1} +$ ... $+ (- 1)^{n} d e t (M)$
Prop Sep $\to$ $E_{λ} = K e r (u - λ i d)$ , $⨁_{λ \in S p (u)} E_{λ} \subseteq E$ et $1 \leq d i m (E_{λ}) \leq m (λ)$ .
Diag Sep $\to$ $\oplus_{λ \in S p} E_{λ} = E$ $\Leftrightarrow$ dim(E)= $\sum d i m (E_{λ})$ $\Leftrightarrow$ mat diagonalisable
Diag $χ_{M}$ $\to$ CS scindé racines simples, CNS scindé et $\forall λ_{i}$ , $d i m (E_{λ_{i}}) = m (λ_{i})$
Endomorph = diagonalisable $\Leftrightarrow$ $\exists$ polynôme annulateur scindé à racines simples
u autoadjoint $\Leftrightarrow$ u est diagonalisable dans une base orthonormée
M (definie) pos $\to$ vp de M $\geq 0$ ( $> 0$ ) $\Leftrightarrow$ $M \in S_{n}^{+}$ ( $S_{n}^{+ +})$ , inverse pour def neg,
rg(u)=1 alors diag $\Leftrightarrow$ trace non nulle
Si $r g (A) < n$ , alors $0$ est une valeur propre de $A$ . Plus précisément, $d i m (K e r A) = n - r g (A)$ ; on a $d i m (K e r A) = n - 1$ seulement lorsque $r g (A) = 1$ .
Si $d i m (K e r A) = n - 1$ , alors $0$ a une multiplicité algébrique au moins $n - 1$ et $χ_{A} (X) = X^{n - 1} (X - t r (A))$ .
Hamilton-Cayley $\to$ $χ_{A}$ est poly annul A
Trigonalisable $\to$ poly caract scindé

Algèbre générale

Algèbre PCSI

Il y a $n^{p}$ aplications de $[[1, p ∥ 1, p]] d s [[1, n ∥ 1, n]]$
Injecte toi un max d'alcool, surjette un minimum d'eau
Inj $\Leftrightarrow$ Ker={0}, surj $\Leftrightarrow$ Im=F
Inversible $\to$ 0 pas vp
$E = F \oplus G$ $\Leftrightarrow$ $F \cap G = {0}$ et $F + G = E$ $\Leftrightarrow$ tout vecteur de $E$ admet une décomposition unique $x = f + g$ .
proj ortho sur $F$ $\to$ $x = p_{F} (x) + (x - p_{F} (x))$ avec $p_{F} (x) \in F$ et $x - p_{F} (x) \in F^{⊥}$ . Pour un projecteur $p$ sur $F$ , $p$ est orthogonal $\Leftrightarrow$ $| | p (x) | | \leq | | x | |$ pour tout $x$ .
Relat° s,p $\to$ $u \in E$ , $F \subset E$ alors $p_{F} (u) = \frac{1}{2} (s_{F} (u) + u)$ lie projeté sur F et la réflexion (symétrie) par rapport à F
prod sca canon $\to$ $(x | y) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}$ ds $R^{n}$ et $\sum_{i = 1}^{n} {\overset{―}{x}}_{i} y_{i}$ ds $C^{n}$
Soit $F = {x \in R^{n} ∣ \sum_{i = 1}^{n} x_{i} = 0}$ $\to$ $F = V e c t (e_{1} - e_{2}, \dots, e_{1} - e_{n})$ ; en effet, pour $x \in F$ , $x = - \sum_{i = 2}^{n} x_{i} (e_{1} - e_{i})$ .
endo u bij $\Leftrightarrow$ surj $\Leftrightarrow$ inj $\to$ $d i m (k e r (u)) = 0$ , THM rg $d i m (E) = d i m (I m (u))$ or $I m (u) \subset E$ $\Rightarrow$ Im(u)=E $\Rightarrow$ f est surjective $\Rightarrow$ f bij
Bases $\to$ normée VS orthogonal << orthonormée (les deux)

Géométrie

s sym / F // G $\to$ $\forall x = f + g$ , $s (x) = f - g$ $\Leftrightarrow$ $s (s (x)) = x$
p proj sur F // G $\to$ $\forall x = f + g$ , $p (x) = f$ $\Leftrightarrow$ $p (p (x)) = p (x)$
sym dim finie n $\to$ symétrie orthog / à un hyperplan F = réflexion, si dim(F)=n-2 = renversement
p proj
Dans $R^{2}$ , $det (\vec{u}, \vec{v}) = 0$ $\Leftrightarrow$ $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
det que pour mat $\in M_{n} (K)$
$\vec{u} . \vec{v} = 0$ $\Leftrightarrow$ $\vec{u}, \vec{v}$ orthog
pour determiner l'orthog d'une droite $Δ$ prendre un vecteur dir resultant de la difference des coord de 2 pts de $Δ$
$M \in C e r c l e$ de diametre AB $\Leftrightarrow$ $\vec{A M} . \vec{B M} = 0$
$α x + β y + γ z = l$ est l'équation d'un plan si $(α, β, γ) \neq (0, 0, 0)$ ; le vecteur $(α, β, γ)$ est normal au plan, donc son produit scalaire avec tout vecteur directeur du plan est nul.
$| | \vec{u} \times \vec{v} | | = | | \vec{u} | | | | \vec{v} | | \sin (θ)$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = | | \vec{u} | | | | \vec{v} | | \cos (θ)$ .
Si $a$ et $b$ sont linéairement indépendants et $F = V e c t (a, b) \subset R^{3}$ , alors $u \in F \Leftrightarrow d e t (u, a, b) = 0$ , ce qui donne une équation cartésienne du plan.
Cart ax+by+cz=0 $\to$ e=(a,b,c) est vect normale au plan car $u \in F$ $\Leftrightarrow$ $(u | e) = 0$
Soit p proj sur F plan $R^{3}$ , h proj sur $F^{⊥}$ $\to$ $\forall x \in R^{3}$ , $h (x) + p (x) = x$ permet de remonter à la proj à partir du vect orthog d'un plan cartésien (puis la sym avec la relat° fond)

EE 1 : prop

espace eucl $\to$ EV reel dim finie muni <.>
espace préhilbertien $\to$ espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire, de dimension finie ou infinie, pas nécessairement complet
espace métrique complet $\to$ toute suite de Cauchy converge dans cet espace
norme-sca $\to$ $| | x | |^{2} = (x | x)$
Prod sca $\to$ sur un espace réel : forme bilinéaire symétrique définie positive ; sur un espace complexe : forme sesquilinéaire hermitienne définie positive.
Prod sca canon $\to$ $(X | Y) = Y^{T} X$
Pythagore $\to$ pour une famille orthogonale, $| | \sum x_{i} | |^{2} = \sum | | x_{i} | |^{2}$
Espaces en somme directe ( $F_{1} \oplus F_{2}$ ) $\to$ $F \cap G = {0}$ , pr n sev $E_{1}, \dots, E_{n}$ , $\forall x_{1} \in E_{1}, \dots, x_{n} \in E_{n}$ tq $x_{1} + \dots + x_{n} = 0$ $\Rightarrow$ $x_{1} = \dots = x_{n} = 0$
Orthogonal d'une partie F $\to$ sev $F^{⊥} \subset E$ tq $F^{⊥} = {y \in E | \forall x \in F, (x | y) = 0}$ = $(V e c (F))^{⊥}$ et F et $F^{⊥}$ en somme directe (mais pas nécessairement supplémentaires ds E en dimension infinie)
En dimension finie, $d i m (E) = d i m (F) + d i m (F^{⊥})$ .
Base EE orthon $\to$ tt ee $\neq {O_{E}}$ admet une base orthon (eg poly lagrange), et tt fam orthon peut être complétée en une base orthon
Décomp x bon $\to$ $x = \sum_{i = 1}^{n} (x | e_{i}) e_{i}$
Gram-Schmidt $\to$ $v_{1} = e_{1} / | | e_{1} | |$ , $u_{k + 1} = e_{k + 1} - \sum_{i = 1}^{k} (e_{k + 1} | v_{i}) v_{i}$ puis $v_{k + 1} = u_{k + 1} / | | u_{k + 1} | |$ .
Proj orthog sur F = Vect( $e_{1}, . . . e_{q}$ ) fam orthog $\to$ $p_{F} (x) = \sum_{i = 1}^{q} \frac{(x | e_{i})}{| | e_{i} | |^{2}} e_{i}$ ou sans ||.|| si orthon
Inégalité Bessel $\to$ $| | p_{F} (x) | |^{2} \leq | | x | |^{2}$
Distance sev d(x,F)= $i n f_{f \in F} | | x - f | |$ et $f = p_{F} (x)$ si proj orthog $\Rightarrow$ $d (x, F)^{2} = | | x | |^{2} - | | p_{F} (x) | |^{2}$

EE 2 : endomorphismes

isométries vectorielles $\to$ $u \in O (E) \subset G L (E)$ et $| | u (x) | | = | | x | |$ $\Leftrightarrow$ $(u (x) | u (y)) = (x | y)$ $\Leftrightarrow$ l'image d'une base orthonormée est orthonormée $\Leftrightarrow$ la matrice $M$ de $u$ dans une base orthonormée est orthogonale ( $M^{T} M = I_{n}$ ).
inverse iso $\to$ u inv (det $\neq 0$ ) et -u et $u^{- 1}$ aussi iso vect
caract sp det iso $\to$ toute valeur propre complexe $λ$ d'une isométrie vérifie $| λ | = 1$ ; les valeurs propres réelles sont donc $\pm 1$ , et $d e t (u) \in {- 1, 1}$ .
iso = bij (automorph) $\to$ $x \in K e r (u)$ $\Rightarrow$ $| | x | | = 0_{E}$ $\Rightarrow$ $K e r (u) = 0_{E}$ or dim finie et endo $\Rightarrow$ bij
F stable iso u $\Rightarrow$ $F^{⊥}$ stable u $\to$ $x \in F^{⊥}$ , u bij, $u (F) \subset F$ , dim finie $\Rightarrow$ u(F)=F $\Rightarrow$ $u^{- 1}$ iso laisse stable F, donc $y \in F$ , $(u (x) | y) = (x | u^{- 1} (y)) = 0$ donc $u (x) \in F^{⊥}$
Groupe orthogonal $O (E)$ $\to$ ensemble des isométries vectorielles de $E$ , sous-groupe de $G L (E)$ stable par composition et passage à l'inverse.
Grp Special $⊥$ $\to$ SO(n) = $O^{+} (n)$ , iso vect det(M)=1 ( $\neq O^{-} (n)$ det=-1)
SO(2) $\to$ rotations $R_{θ} = (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}) .$
- Demo O(2) $\to$ A=MAT(a,b,c,d) $\in$ O(2) $\Rightarrow$ $a^{2} + b^{2} = 1$ , $c^{2} + d^{2} = 1$ , $a c + b d = 0$ donc va $\leq$ 1 $\Rightarrow$ paramétrisation $a = c o s (θ)$ $\Rightarrow$ $b = s i n (θ)$ idem c,d avec $ϕ$ , or (3) $\Rightarrow$ $s i n (θ + ϕ) = 0$ donc $ϕ = - θ [π]$ donc deux cas $ϕ = - θ [2 π]$ (SO(2)) et $ϕ = π - θ [2 π]$ ( $O^{-} (n)$ )
Prop $R_{θ}$ $\to$ $R_{θ} = R_{ϕ}$ $\Leftrightarrow$ $θ \equiv ϕ (\mod 2 π)$ , $R_{θ} R_{ϕ} = R_{θ + ϕ}$ , $R_{θ}^{- 1} = R_{- θ}$ , $R_{θ}^{k} = R_{k θ}$ $\forall k \in Z$ .
$O^{-} (2)$ $\to$ symétries (donc $S_{θ}$ sym)$$ S_\theta=\begin{pmatrix}
cos(\theta) & sin(\theta) \
sin(\theta) & -cos(\theta) \
\end{pmatrix}$$
Sym/autoadj $\to$ $u$ est autoadjoint si $(u (x) | y) = (x | u (y))$ pour tous $x, y$ ; dans une base orthonormée, cela équivaut à ce que sa matrice soit symétrique.
Si $u$ est autoadjoint, les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
Un projecteur ou une symétrie est orthogonal si et seulement s'il est autoadjoint.
Thm spectrale $\to$ si $u$ est autoadjoint, il existe une base orthonormée de vecteurs propres et une matrice $P \in O_{n} (R)$ telle que $P^{- 1} M P = P^{T} M P = D$ , avec $D$ diagonale.
THM sp $\to$ M symétrique à coefficients $R$ est diagonalisable, si u un endo sym d'un eve E $\Rightarrow$ $\exists$ bon de E constituée de vect propres
Forme linéaire $\to$ $f : E \to R$ linéaire, de rang 1 sauf si identiquement nulle
THM de représentation de Riesz $\to$ si $H$ est un espace de Hilbert réel et $f$ une forme linéaire continue sur $H$ , alors $\exists! y \in H$ tel que $\forall x \in H$ , $f (x) = ⟨ x, y ⟩$ .
THM determinat° app par base $\to$ $(e_{i})_{i \in I}$ base de E, $(f_{i})_{i \in I}$ fam de F : $\exists! u \in L (E, F)$ tq $u (e_{i}) = f_{i}$ pour tout $i \in I$ , et u inj $\Leftrightarrow$ $(f_{i}) i \in I$ libre ds F; u surj $\Leftrightarrow$ $(f_{i})_{i \in I}$ gen de F; u bij $\Leftrightarrow$ $(f_{i})_{i \in I}$ base de F.

Normes:

norme sur ev E $\to$ positive, séparable ( $| | x | | = 0$ $\Rightarrow$ x= $0_{E}$ ), homogène ( $| | λ x | | = | λ | . | | x | |$ ), respecte IT alors (E, $| | . | |$ ) est EVN
Norme 1 E $\to$ $| | x | |_{1} = \sum_{k = 1}^{n} | x_{k} |$
Norme 2 sur $C ([a, b])$ $\to$ $| | f | |_{2} = \sqrt{\int_{a}^{b} | f (t) |^{2} d t}$
Norme 2 E $\to$ $| | x | |_{2} = \sqrt{\sum_{k = 1}^{n} | x_{k} |^{2}}$
Norme inf $\to$ $| | x | |_{+ \infty} = m a x_{1 \leq k \leq n} (| x_{k} |)$
Norme CVU $\to$ ev applicat°s bornées de X ds $K$ admet $| | f | |_{\infty} = s u p_{x \in X} | f (x) |$
Norme $\to$ Je trouve ça pas NORMALE qu'il soit POSITIVE de SÉPARER ( $| | x | | = 0 \Rightarrow$ x=0) les HOMOsexuels ( $| | λ x | | = | λ | | | x | |$ ) afin de réduire les INÉGALITÉS (triangulaire)
CS $\to$ $| < x, y > | \leq | | x | | . | | y | |$
Minowski (triang) $\to$ $| | x + y | | \leq | | x | | + | | y | |$
CS canon $\to$ $| \sum a_{i} b_{i} | \leq \sqrt{\sum a_{i}^{2}} \sqrt{\sum b_{i}^{2}}$
Minkowski canon $\to$ $\sqrt{\sum (a_{k} + b_{k})^{2}} \leq \sqrt{\sum a_{k}^{2}} + \sqrt{\sum b_{k}^{2}}$
Minkowski dans $L^{2}$ $\to$ $\sqrt{\int_{a}^{b} | f + g |^{2}} \leq \sqrt{\int_{a}^{b} | f |^{2}} + \sqrt{\int_{a}^{b} | g |^{2}}$
Montrer qu'un ensemble est fermé $\to$ montrer que son complémentaire est ouvert, ou l'écrire comme image réciproque d'un fermé par une fonction continue.

Normes de Matrice:

Si E a une structure d'algèbre (e.g. E est l'algèbre des matrices carrées d'ordre n sur $R$ ) une norme matricielle (ou norme d'algèbre) N sur E est une norme qui respecte la structure de ce produit donc tq $N (A B) \leq N (A) N (B)$

Topologie

général

f paire et $C^{2}$ $\to$ f'(0)=0
Ouvert $\to$ $A$ est ouvert si $\forall a \in A$ , $\exists r > 0$ tel que $B (a, r) \subset A$ . L'image réciproque d'un ouvert par une fonction continue est ouverte
Si $B$ est fermé, alors son complémentaire $R^{2} ∖ B$ est ouvert. L'image réciproque d'un fermé par une fonction continue est fermée
Voisinage $\to$ $V \subset R^{2}$ est un voisinage de $a \in R^{2}$ $\Leftrightarrow$ $\exists r > 0$ tel que $B (a, r) \subset V$ .
$f$ $C (a \in A)$ $\Leftrightarrow$ $\forall ϵ > 0$ , $\exists δ > 0$ , $\forall x \in A$ , $| | x - a | | < δ \Rightarrow | f (x) - f (a) | < ϵ$ $\Leftrightarrow$ $x \in \bar{B} (a, δ)$ $\Rightarrow$ $f (x) \in \bar{B} (f (a), ϵ)$

Calcul diff plusieurs var :

(cof)'(x)=f'(x)c'(f(x)) cofi fi cif ((covfi fi siph)
Si $f$ est continue, alors elle est continue séparément par rapport à chaque variable. La réciproque est fausse en général ; des dérivées partielles continues impliquent que $f$ est de classe $C^{1}$
d' partielle en $x_{0}$ existe $\to$ $l i m_{t \to x_{0}} \frac{f (\binom{t}{y_{o}}) - f (\binom{x_{o}}{y_{o}})}{t - x_{o}}$ $= \frac{\partial f}{\partial x} (\binom{x_{o}}{y_{o}}) = \partial_{1} f$ existe ( $\Leftrightarrow$ $h = t - x_{o}$ )
f $C^{1}$ sur ouvert $\to$ admet 2 dérivée partielle $C$
Dev Taylor = DL1 f $C^{1}$ en $a = (\binom{x_{o}}{y_{o}})$ $\to$ $f (X) = f (a) + \partial_{1} f (a) (x - x_{o})$ $+ \partial_{2} f (a) (y - y_{o}) + o (| | X - a | |)$ ou idem avec $a^{'} = (x_{o} + h, y_{0} + k)$ avec un $o (| | (h, k) | |)$
IAF $\to$ Si $[x, y] \subset U$ et $f \in C^{1} (U, F)$ , alors $‖ f (y) - f (x) ‖ \leq (sup_{z \in [x, y]} ‖ D f (z) ‖_{op}) ‖ y - x ‖$
Plan tangent $\to$ DL1(a) $\Rightarrow$ plan tangent $z =$ $f (a) + (x - x_{0}) \frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) + (y - y_{0}) \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0})$
Gradient si $f \in C^{1}$ , $\nabla f = (\binom{\partial_{1} f}{\partial_{2} f})$ ; il donne la direction de plus forte croissance lorsque $\nabla f \neq 0$ , et $\nabla f (a) = 0$ en un point critique. Dans Taylor, $f (a + h) = f (a) + ⟨ \nabla f (a), h ⟩ + o (| | h | |)$ .
Si $f$ est différentiable en $a$ $\Leftrightarrow$ dérivée directionnelle selon $u$ est définie : $D_{u} f (a) = lim_{t \to 0} \frac{f (a + t u) - f (a)}{t} = ⟨ \nabla f (a), u ⟩$
Jacobienne $\to$ pour $f : R^{n} \to R^{m}$ , $J_{f} (a) = (\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}} (a)) \in M_{m, n} (R)$ .
Jacob composée f,g $C^{1}$ $\to$ donne RDlC $J_{g \circ f} (a) = J_{g} (f (a)) J_{f} (a)$
RdLC $\to$ si $f : R \to R^{n}$ et $g : R^{n} \to R$ , alors $\frac{d}{d t} (g \circ f) (t) = \sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial g}{\partial x_{j}} (f (t)) f_{j}^{'} (t) = ⟨ \nabla g (f (t)), f^{'} (t) ⟩$ .
RdLC 1 var $\to$ $(u \circ v)^{'} (t) = u^{'} (v (t)) v^{'} (t)$ ; donc $\frac{d}{d t} f (x (t)) = f^{'} (x (t)) x^{'} (t)$ .
RdlC 2 var $\to$ $X (t) = (\binom{x (t)}{y (t)})$ alors $\frac{d}{d t} (f \circ X (t)) = \frac{\partial f}{\partial x} (X (t)) . x^{'} (t) + \frac{\partial f}{\partial y} (X (t)) . y^{'} (t)$
Hessienne $\to$ $H_{f} (a) = {(\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} (a))}_{1 \leq i, j \leq n}$
Extremum local $\to$ $a$ est un minimum local si $\exists r > 0$ tel que $\forall x \in U \cap B (a, r)$ , $f (x) \geq f (a)$ ; pour un maximum local, $f (x) \leq f (a)$ .
CS pour un extremum strict $\to$ si $f \in C^{2}$ , $\nabla f (a) = 0$ et $H_{f} (a) \in S_{n}^{+ +}$ , alors $a$ est un minimum local strict ; si $H_{f} (a) \in S_{n}^{- -}$ , alors $a$ est un maximum local strict.
CN à un extremum local intérieur $\to$ si $f \in C^{2}$ , alors $\nabla f (a) = 0$ et $H_{f} (a)$ est positive semi-définie pour un minimum, négative semi-définie pour un maximum ( $H_{f} (a) \in S_{n}^{+} \cup S_{n}^{-}$ )
Hessienne d'une fonction $C^{2}$ de deux variables $\to$ $H_{f} (a) = M a t (r, s, s, t)$ en tout point, par le théorème de Schwarz
En deux variables, à un minimum local intérieur d'une fonction $C^{2}$ , $d e t (H_{f} (a)) \geq 0$ et $t r (H_{f} (a)) \geq 0$ ; pour un maximum, $d e t (H_{f} (a)) \geq 0$ et $t r (H_{f} (a)) \leq 0$ .
Si $\nabla f (a) = 0$ et $d e t (H_{f} (a)) > 0$ , alors $t r (H_{f} (a)) > 0$ implique un minimum local strict, et $t r (H_{f} (a)) < 0$ implique un maximum local strict.
C'est toujours l'inverse signe pour max min pr trace et def pos neg