Ondes Electromagnetiques

MAGNÉTOSTAT PCSI

LDChamps -> courbe auquel $\vec{B}$ tangent
Bobines Helmoltz -> 2 bobines coaxiales
Solénoïde $\infty$ -> $B = μ_{0} n i$
Moment mag spire -> $\vec{m} = I S \vec{n}$ , $\vec{n}$ selon RdlMainDroite, $[m] = A . m^{2}$
Laplace -> $\vec{F_{L}} = i \vec{d l} \land \vec{B}$
Rails Laplace -> Barre MN mobile complète circuit fixe, $F_{L} = i (\int_{M N} \vec{d l}) \land \vec{B} = i \vec{M N} . \vec{B}$
Puiss $F_{L}$ -> $P (F_{L}) = i M N B_{0} v_{x} > 0$ => $F_{L}$ , $\vec{v}$ même sens => motrice (sinon rés)
Spire SPQR (rect) rot axe $Δ$ -> $\vec{n}$ RdlMD forme angle $θ$ avec $\vec{B}$ ds plan orthog spire, ${\vec{F}}_{S P} = i \vec{S P} \land \vec{B} = - {\vec{F}}_{Q R}$ or pt applicat° diff => couple forces idem autres
Momen rés SPQR centre O -> ${\vec{F}}_{S P}$ , ${\vec{F}}_{Q R}$ ont droites d'act° passant O => moment / O nulle, $\vec{Γ} = {\vec{M}}_{O} ({\vec{F}}_{P Q}) + {\vec{M}}_{O} ({\vec{F}}_{R S})$ = $\vec{O H} \land {\vec{F}}_{P Q} + \vec{O K} \land {\vec{F}}_{R S}$ = $\vec{O H} \land 2 {\vec{F}}_{P Q}$ or $\vec{OH}=\frac{b}{2}cos(\theta)-\ff
$\vec{Γ} = \sum \vec{M} (\vec{f}) = \vec{m} \land \vec{B}$ ds champ mag
$\vec{M} (\vec{f}) = \vec{O M} \land \vec{f}$ mf Ô mf
Loi lenz -> $i_{i n d u i t}$ tends par ${\vec{B}}_{i n d u i t}$ modérer variation de $ϕ (\vec{B}) = L . i + M . i_{a u t r e s b o b i n e s}$
Inductance mutuelle -> $[M] = H$
Loi de Faraday : $e_{i n d u i t} = - \frac{\partial ϕ (\vec{B})}{\partial t}$
P=Ui=- $e_{i n d u i t} i$ = $\frac{\partial \frac{1}{2} L i^{2}}{\partial t}$ donc $E_{L} = \frac{1}{2} L i^{2}$
$I = \int \int \vec{j} \vec{d S}$

ÉLECTROSTATIQUE

$\vec{E} = - \vec{g r a d} (V)$ seulement quant $\vec{r o t} (\vec{E}) = \vec{0}$
Poisson $Δ V = \frac{- ρ}{ϵ_{0}}$
Laplace qd $ρ = 0$
$\vec{E}$ orienté vers potentiels décroissants
V=0 n'implique pas E=0
Potentiel électrostatique -> $\vec{A}$

FORCES ELECTROSTAT

$\vec{F_{A \to B}} = \frac{q_{a} q_{b}}{4 π ϵ_{0}} \frac{\vec{A B}}{A B^{3}}$ force de Coulomb
$V (M) = \sum \frac{q_{i}}{4 π ϵ_{0} A_{i} M}$
$\vec{E} (M) = \sum \frac{q_{i}}{4 π ϵ_{0}} \frac{\vec{A_{i} M}}{A_{i} M^{3}}$ champs elec distrib
$\vec{E} (M) = \int \int \int \frac{ρ (P)}{4 π ϵ_{0}} \frac{\vec{P M}}{P M^{3}} d τ_{p}$ champs elec distrib
Sphérique $d τ_{M} = r^{2} d r d θ s i n (θ) d ϕ$
$\pm$ sym $D_{c h a r g e s}$ est $\pm$ sym $\vec{E}$ , et $\pm$ sym $D_{c o u r a n t}$ est $\mp$ sym $\vec{B}$
Champs tangent plan sym, orthog antisym
Plan sym rotationnel est anti sym champ
LDC $\vec{B}$ -> pôle nord vers sud (traj q)
LDC $\vec{E}$ -> traj q > 0 libre (charge + vers -)
$\vec{E}$ , $\vec{B}$ tangent -> aux LdC
$Cylindrique \vec{g r a d} (U) = \frac{\partial U}{\partial r} \vec{u_{r}} + \frac{1}{r} \frac{\partial U}{\partial θ} \vec{u_{θ}} + \frac{\partial U}{\partial z} \vec{u_{z}}$
$d i v (\vec{E}) = \frac{1}{r} \frac{\partial r E_{r}}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial E_{θ}}{\partial θ} + \frac{\partial E_{z}}{\partial z}$ $Δ (V) = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial V}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} V}{\partial^{2} θ} + \frac{\partial^{2} V}{\partial^{2} z}$
Force (cons) champ -> $\vec{F_{e l e c}} = q \vec{E} (M) = - \vec{g r a d} (E_{p})$
$E_{p o t} (M) = q V (M)$
$\vec{B} s e l o n {\vec{u}}_{θ} \Rightarrow turns autour {\vec{u}}_{z} \Rightarrow \vec{r o t} porte par {\vec{u}}_{z}$

Cylindrique: \vec{r o t} (\vec{A}) = (\begin{matrix} \frac{1}{r} \frac{\partial A_{z}}{\partial θ} - \frac{\partial A_{θ}}{\partial z} \\ \frac{\partial A_{r}}{\partial z} - \frac{\partial A_{z}}{\partial r} \\ \frac{1}{r} (\frac{\partial r A_{r}}{\partial r} - \frac{\partial A_{r}}{\partial θ}) \end{matrix})

\vec{r o t} (F) = \nabla \land F = (\begin{matrix} \partial F_{z} / \partial y - \partial F_{y} / \partial z \\ \partial F_{x} / \partial z - \partial F_{z} / \partial x \\ \partial F_{y} / \partial x - \partial F_{x} / \partial y \end{matrix})

⟺ \vec{\nabla} \times \vec{F} = \vec{\nabla} \land F = (\frac{\partial F_{z}}{\partial y} - \frac{\partial F_{y}}{\partial z}) \vec{u_{x}} + (\frac{\partial F_{x}}{\partial z} - \frac{\partial F_{z}}{\partial x}) \vec{u_{y}} + (\frac{\partial F_{y}}{\partial x} - \frac{\partial F_{x}}{\partial y}) \vec{u_{z}}

MAXWELL

Dimensions champs -> $[E] = V . m^{- 1}$ , $[B / μ_{0}] = A . m^{- 1}$
Eq cons charge -> $\frac{δ ρ}{d t} + d i v (\vec{j} (M, t)) = 0$ établi par bilan Q cylindre 1D ou div(MA) => $d i v (\vec{j}) + ϵ_{0} \frac{δ d i v \vec{E}}{δ t} = 0$ puis MG
célérité lum -> $μ_{0} ϵ_{0} = 1 / c^{2}$
Thm Gauss -> $Φ (\vec{E}) = Q_{i n t} / ϵ_{0}$ demo ostro, MG
B flux cons sur $Γ$ -> $Φ (\vec{B}) = 0$ demo ostro, M $Φ$ puisqu'il n'existe pas de monopôle magnétique
Loi Faraday -> $C_{E} (t) = - \dot{Φ_{B}}$ demo stokes, MF, et pr circuit = $e_{i n d u i t}$
L cste $Φ_{B} = L i (t)$ -> car $U = L \frac{d i}{d t} = \frac{d Φ_{B}}{d t}$
Thm Ampère -> $C_{B} (t) = μ_{0} I + \frac{1}{c^{2}} \dot{Φ_{E}}$ sur $S_{Γ}$ appuyé $Γ$ fermé, en electrostat $\dot{Φ_{E}} = 0$
Eq Poisson -> $Δ V + \frac{ρ (M)}{ϵ_{0}} = 0$ demo div(MG)
Effet joule -> $P_{V} = \vec{j} \vec{E} = γ {\vec{E}}^{2} = \frac{{\vec{j}}^{2}}{γ}$
E électromag -> $u_{e m} = ϵ_{0} \frac{{\vec{E}}^{2}}{2} + \frac{1}{μ_{0}} \frac{{\vec{B}}^{2}}{2}$ en $J . m^{- 3}$
Poynting -> $\vec{Π} = \frac{1}{μ_{0}} \vec{E} \land \vec{B}$ tel que $d^{2} U_{e m} = \vec{Π} (M, t) . {\vec{d S}}_{M} d t$ , décris mvmt Eem en $W . m^{- 2}$
Bilan global Eem -> $U_{e m} = \int \int \int u_{e m} d τ$ , varie SI Eem sort/entre donc $Φ_{Π} = \int \int_{S f e r m é} \vec{Π} \vec{d S} = P_{s o r t a n t}$ ou SI perte énergie volumique $P_{p e r d u} = \int \int \int \vec{j} . \vec{E} d τ$ donc $\frac{d U_{e m}}{d t} + P_{s o r t a n t} = \frac{d U_{e m}}{d t} + Φ_{Π} = - P_{p e r d u}$
Bilan local Eem -> $\frac{d u_{e m}}{d t} + d i v \vec{Π} = - \vec{j} \vec{E}$ équivaut à terme stockage + terme transfert = terme production

SITUATIONS ÉLECTROMAG VIDE

2 plaques $\infty$ charges opposé ->

ONDES ELECTROMAG DS MILIEUX MAT

Vitesse phase -> Vais fas oméga/caca $v_{ϕ} = \frac{ω}{R e (k)}$ est la vit prop de la porteuse sous l'enveloppe, c'est un réel !?
Vitess grp -> Végéta=derive Oméga DK en $k_{0}$ (vitesse groupe) $v_{g} = \frac{1}{\frac{d k}{d w} (w_{0})}$ est la vit d'un nœud d'onde, vit déplacement d'énergie
Millieu non dispersif -> ( $v_{ϕ}$ dépend pas de k): $ω$ forcément proportionnel à k, donc deux vitesses sont égales, et constantes $v_{ϕ} = v_{g} = c s t e$
Milieu dispersif -> deux vitesses sont plus égales, dépendent de k
$w_{0}$ et $k_{0}$ -> les pulsations et modules d'ondes moyennes du paquet d'onde, donc de la porteuse
Différenciation -> $d (k^{n}) = n k^{n - 1} d k$

ONDES DS PLASMAS

Plasma -> $ρ_{t o t} = 0 \neq - e n_{e} = ρ_{e}$ , $\vec{j} = \vec{0}$ (absence champ) sinon $\vec{j} = γ \vec{E}$ , dilué donc similaire GP, $e^{-}$ non relativistes donc ${\vec{F}}_{L o r e n t z} = - e \vec{E}$
Conductivité plasma -> cheche vitesse $C$ PFD + loi d'Ohm $\underset{―}{\vec{j_{e}}} = - e n_{e} \underset{―}{\vec{v}} = \frac{n_{e} e^{2}}{i m_{e} ω} \underset{―}{\vec{E}} = \underset{―}{γ} \underset{―}{\vec{E}}$ puis MF $C$ ds MA $C$ donne relation disp, sinon rot(rot(E)) puis avec gamma
Relat° disp plasma -> MF $C$ ds MA $C$ donne relation disp, sinon rot(rot(E)) puis avec gamma : $k^{2} = \frac{w^{2} - w_{p}^{2}}{c^{2}} = (\frac{ω}{c})^{2} - \frac{μ_{0} n_{e} e^{2}}{m_{e}}$ donc $w_{p} = c \sqrt{\frac{μ_{0} n_{e} e^{2}}{m_{e}}}$ la pulsation plasma (pulsation de coupure)
$ω > ω_{p}$ -> domaine transparent, k réel, $v_{ϕ} = \frac{w c}{\sqrt{w^{2} - w_{p}^{2}}}$ dépends $ω$ donc dispersif
$ω < ω_{p}$ -> $k = \pm \frac{i}{l_{c}} \in C / R$ domaine réactif: onde evanescente $\vec{E} = \vec{E_{0}} e^{i ω t} e^{\mp \frac{\vec{u} . \vec{r}}{l_{c}}}$ pas de propagation, attenuation sur $l_{c}$ (Nolan réactif (rage) car pas de transport de matière (baise pas))
Onde évanescente -> $\vec{Π}$ est nulle en moyenne sur une oscillation
Indice optique plasma -> $n (λ) = A + \frac{i^{3}}{λ^{2}}$
Résonance -> analyse amplitude

CONDUCTEUR OHMIQUE

Métal -> $ρ = 0$ , $e^{-}$ libres non relativistes => ${\vec{F}}_{C} = - e \vec{E}$ , loi Ohm, modèle drude PFD ${\vec{f}}_{f r o t t} = - \frac{m_{e}}{τ} \vec{v}$ donc ${\vec{v}}_{l i m} = - \frac{e τ}{m_{e}} \vec{E}$ donc $\vec{j} = \frac{n_{e} e^{2} τ}{m_{e}} \vec{E}$ donc $γ$ est $R$
Equation propagation -> rot(rot(E)) puis loi d'ohm puis passage complexes
Relat° disp -> MF ds MA $C$ : $k^{2} = μ_{0} ϵ_{0} ω^{2} - i μ_{0} γ ω$
$P_{V} = \frac{d P_{p r o d}}{d V}$ -> pour effet joule $P_{p r o d} =< R e (\vec{j} . \vec{E}) >_{m o y} = \frac{{\vec{j}}^{2}}{γ}$ si $γ$ , j, E réels

Ondes dispersion absorption

Poynting -> $\vec{Π} = \vec{E} \land \vec{B} / μ_{0}$ evict magnets without moo's
Densité énergie -> $u_{e m} = \frac{ϵ_{0}}{2} E^{2} + \frac{1}{2 μ_{0}} B^{2}$ réécrit donne : 2/Epstein énergétique = eux sont carrés, (carte bancaire) carré
OG E,B -> c||B||=||E|| : carte bleu E, utile trouver relation prop plasma démo avec Uem
B tang π*, B orthog π
E orthog π*, E tang π
E tan(π)=0
MG, Mphi, MF it's ma balls
Re(k)>0 -> propagation da,ns x croissants
Im(k)=0 -> milieu neutre; Im(k)>0 <=> amplification, sinon atténuation (dispertion)
Milieu dispersif -> $v_{ϕ} \neq c$ alors $k = k^{'} + i k^{″}$ il y a étalement signal
Milieu atténuateur -> diminution amp
$k (Ω + ω) \approx k (Ω) + ω \frac{d k}{d ω} (Ω)$ pour $Ω >> ω$
Paquet d'ondes: $A (ω) \approx 0$ pour $ω \notin [w_{m} - Δ ω / 2, w_{m} + Δ ω / 2]$ , et s(z,t) est l'intégrale sur $R$ de $A (ω) e^{i (ω t - k (ω) z)}$
Onde sphérique : $s (M, t) = \frac{s_{0}}{r} c o s (ω t + Φ (M))$ avec $Φ (M) = \pm \frac{2 π}{λ_{0}} (S M) + Φ (S)$
OPM: $s (M, t) = s_{0} c o s (ω (t \pm \frac{\vec{u} . \vec{O M}}{c}) - Φ_{0})$
Cable coaxial: LDM+LDN donne eq d'Al $c^{2} = 1 / γ λ$ et $k^{2} = ω^{2} γ λ - i γ (g λ + r γ) + r g$