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Comment retrouver toutes les formules de trigonométrie

Euler

• EULER ($L_1$) -> $e^{ix}=\cos x+i\sin x$
• EULER ($L_2$) -> $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$
• ${\displaystyle \frac{L_1+L_2}{2}}$ -> $\cos x={\displaystyle \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$
• ${\displaystyle \frac{L_1-L_2}{2}}$ -> $\sin x={\displaystyle \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$

Moivre

• MOIVRE -> $(e^{ix}{)}^n=e^{inx}$
• $(\cos x+i\sin x{)}^n=\cos nx+i\sin nx$

Addition

• $e^{i(a+b)}=e^{ia}{e}^{ib}$
• $\cos (a+b)+i\sin (a+b)=(\cos a+i\sin a)(\cos b+i\sin b)$ $=\cos a\cos b-\sin a\sin b+i(\cos a\sin b+\cos b\sin a)$
• Partie $\mathbb{R}$ -> $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ $(L_3)$
  • $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ $(L_4)$
• Partie $\mathbb{C}$ -> $\sin (a+b)=\cos a\sin b+\cos b\sin a$ $(L_5)$
  • $\sin (a-b)=-\cos a\sin b+\cos b\sin a$ $(L_6)$
• Tangente $(L_3)$ et $(L_5)$ -> $\tan (a+b)={\displaystyle \frac{\tan b+\tan a}{1-\tan a\tan b}}$

Duplication (découle addition)

• $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$
• $\sin 2a=2\cos a\sin a$
• $\tan 2a={\displaystyle \frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}}$

Linéarisation

• $\frac{1}{2}(L_4+L_3)=(L_7)$ -> $\cos a\cos b=\frac{1}{2}(\cos (a-b)+\cos (a+b))$
• $\frac{1}{2}(L_4-L_3)=(L_8)$ -> $\sin a\sin b=-\frac{1}{2}(\cos (a-b)-\cos (a+b))$
• $\frac{1}{2}(L_5+L_6)=(L_9)$ -> $\sin a\cos b=\frac{1}{2}(\sin (a+b)+\cos (a-b))$

Factorisation

• Soient $p=a-b$ et $q=a+b$ alors $a=\frac{p+q}{2}$ et $b=\frac{q-p}{2}$
• $L_7$ -> $\cos p+\cos q=2\cos (\frac{p+q}{2})\cos (\frac{q-p}{2})$
• $L_8$ -> $\cos p-\cos q=2\cos (\frac{p+q}{2})\sin (\frac{q-p}{2})$
• $L_9$ -> $\sin p+\sin q=2\sin (\frac{p+q}{2})\cos (\frac{q-p}{2})$
• $-\sin q=\sin (-q)$ -> $\sin p-\sin q=2\sin (\frac{p-q}{2})\cos (\frac{p+q}{2})$

p=0

• $1+\cos q=2{\cos }^2(\frac{q}{2})$
• $1-\cos q=2{\sin }^2(\frac{q}{2})$

Angle moitié

• $t=\tan \frac{x}{2}$
• $(L_{10})$ -> $\tan x={\displaystyle \frac{2\tan \frac{x}{2}}{1-{\tan }^2(\frac{x}{2})}}={\displaystyle \frac{2t}{1-t^2}}$
• $(L_3)$ puis $(L_{12})$-> ${\displaystyle \frac{{\cos }^2(\frac{x}{2})-{\sin }^2(\frac{x}{2})}{{\cos }^2(\frac{x}{2})+{\sin }^2(\frac{x}{2})}}={\displaystyle \frac{1-{\tan }^2(\frac{x}{2})}{1+{\tan }^2(\frac{x}{2})}}={\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}}$
• $(L_{11}\times L_{12})$ -> $\sin x={\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}}$