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Mathématiques Complètes PCSI/PC

Général

Primitives

$\frac{1}{s i n (x)}$ => ln|tan(x/2)| sur $] k π; (k + 1) π [$
$\frac{1}{c o s (x)}$ => ln|tan(x/2+π/4)| sur $] - π / 2; π / 2 [+ k π$
$\frac{1}{((x + b)^{2} + a^{2})}$ => $\frac{1}{a} A r c t a n (\frac{(x + b)}{a})$
u'(x)/ch2(u(x)) => th(u(x))
u'(x)ln(u(x)) => u(x)(ln(u(x)-1)
$n^{3} = n (n - 1) (n - 2) + 3 n^{2} - 2 n$
$[[1; n]]$
$_{b}^{a}$

Polynômes

$x^{2} + A x + B = (x - α_{1}) (x - α_{2})$ donne que $B = α_{1} α_{2}$ et $A = - (α_{1} + α_{2})$ utile lorque tu connais une racine
R racine mult paire sur J -> $R = (X - λ)^{m} S (X)$ avec $S (λ) \neq 0$ alors S $C^{0}$ change pas signe vois $λ$ et autres terme pos => R signe cste J
$P (J) = 0$ -> infinité racines => P=0

Astuces

Intervalle peut être infini, segment non
$⌊ x ⌋ \leq x < ⌊ x ⌋ + 1$
$x - 1 < ⌊ x ⌋ \leq x$
$| | x | - | y | | \leq | x + y | \leq | x | + | y$
IPP u,v C1 $[a, b]$
CDV seg: ¶ C1(I,R), f continue sur ¶(I), a,b ds I: int(¶(a)->¶(b))f(x)dx=int(a->b)f(¶(t))¶'(t)dt
Si ¶ bij alors peut remplacer a,b par ¶-1(a), ¶-1(b)
CDV int: phi C1(I,R), bij $] a, b [, - >] a^{'}, b^{'} [$
ALPES Arctan/sin/cos, Log, Polynômes, Exponentielle, Sin/cos/tan/sh/ch (+d'->-d')
CS $(\int_{a}^{b} f g)^{2} <= (\int_{a}^{b} f)^{2} (\int_{a}^{b} g)^{2}$
CDV u=tan(t/2), cos(t)=(1-u^2)/(1+u^2), sin(t)=2u/(1+u^2), tan(t)=2u/(1-u^2)
Sommes triangle infini -> si conv $\sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} a_{n, k} = \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{n = k}^{\infty} a_{n, k}$
$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$
$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$
$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2}$
$\sum_{k = 1}^{n} k^{4} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1) (3 n^{2} + 3 n - 1)}{30}$
gof surj -> g surj car surjecte de l'extérieur
gof inj -> f inj car injecte de l'intérieur
ITL (Inégalité Taylor Lagrange) -> f $C^{n + 1} (I)$ tq $| f^{(n + 1)} | \leq M$ , $\forall (a, b) \in I^{2}$ : $| f (b) - f (a) - \sum_{k = 1}^{n} \frac{(b - a)^{k}}{k!} f^{(k)} (a) | \leq M \frac{| b - a |^{n + 1}}{(n + 1)!}$
Pascal -> p parmi n = p-1 parmi n-1 + p parmi n-1 mitose ++
Operat°s licites inégalités -> +/-, mult nb pos ou neg en inversant, mult tàt par termes pos, composer f° stricte croiss ou decroiss en inversant (si pas strict inégalités larges)
Min/max eq $x^{2}$ -> derivée =0 => $x = - \frac{b}{2 a}$

DÉVELOPPEMENTS

$e^{x} \approx \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}$
$\sin (x) \approx \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}$
$\cos (x) \approx \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!}$
$\tan (x) \approx \sum_{k = 1}^{n} \frac{B_{2 k} (2 k)!}{(2 k)!} \frac{x^{2 k - 1}}{(2 k - 1)!}$ , où $B_{2 k}$ est le $2 k$ -ième nombre de Bernoulli
$\arctan (x) \approx \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} \frac{x^{2 k + 1}}{2 k + 1}$
$\frac{1}{1 + x} \approx \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} x^{k}$
$\frac{1}{1 - x} \approx \sum_{k = 0}^{n} x^{k}$ , R=1 sur $C$
$\ln (1 + x) \approx \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k - 1} \frac{x^{k}}{k}$
$\ln (1 - x) \approx - \sum_{k = 1}^{n} \frac{x^{k}}{k}$
$(1 + x)^{a} \approx \sum_{k = 0}^{n} (\binom{a}{k}) x^{k}$ avec a un entier
$(1 + x)^{α} = 1 + α x + \frac{α (α - 1)}{2} x^{2} + \dots + \frac{α (α - 1) \dots (α - n + 1)}{n!} x^{n} + o (x^{n})$ avec $α$ non entier
$\cosh (x) \approx \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!}$
$\sinh (x) \approx \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}$
$\frac{1}{\sqrt{1 - x}}$ = $\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{2^{2 n}} (\binom{2 n}{n}) x^{n}$ de Nollan

Trigonométrie

cos racisme + que -
sin together ++
sint+cost=sqrt(2)cos(π/2-t)
Tin Tin T'1 TinTin: $t a n (a \pm b) = \frac{t a n (a) \pm t a n (b)}{1 \mp t a n (a) t a n (b)}$
0,1,2,3,4 divide 4, sqrt -> gives values from center of trig circle

Sommes

Series:

Prod Cauchy -> $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ CVA -> $\sum w_{n}$ , $w_{n} = \sum u_{k} v_{n - k}$ CVA vers prod sommes $u_{n}$ , $v_{n}$
Somme geo -> $\sum_{k = p}^{n} q^{k} = q^{p} \frac{1 - q^{n + 1 - p}}{1 - q}$

Series entières :

Lemme d'Abel -> $\exists z_{0} \in C^{*}$ tq $(a_{n} z_{0}^{n})$ est bornée => $\forall z$ tq $| z | < | z_{0} |$ , $| a_{n} z^{n} | = O (| \frac{z}{z_{0}} |^{n})$ donc $\sum a_{n} z^{n}$ CVA
RC -> sup{r pos tq $a_{n} r^{n}$ bornée} donc si $a_{n}$ bornée mais tends pas vers 0 alors R=1
SE $C^{+ \infty}$ sur int ouvert conv $] - R; R [$
$\sum a_{n} z^{n}$ RC=R -> RC pr $z^{2 n}$ est $\sqrt{R}$
$a_{n}$ ~ $b_{n}$ -> R égaux (et comp o/O donne min)
Série entière dérivée/prim -> à même RC
Produit Cauchy SE -> $\sum b_{k} x^{k}$ , $\sum b_{k} x^{k}$ CN abs => $\sum c_{n} x^{n}$ conv vers $(\sum_{n_{0}}^{inf} a_{k}) (\sum_{n_{0}}^{inf} b_{k})$ where $c_{n} = \sum_{n_{0}}^{n} a_{k} b_{n - k}$ et $R \geq m i n (R_{1}, R_{2})$ ou pr z complexe $| z | \geq m i n (R_{1}, R_{2})$
Int SE et int -> sur seg sans pb
$\sum (a_{k} + b_{k}) x^{k}$ a $R = m i n (R_{1}, R_{2})$ si $R_{1} \neq R_{2}$ , else $R \geq R_{1} = R_{2}$
f DSE -> $f^{(k)} (x)$ $= \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(n + k)!}{n!} a_{n + k} x^{n}$
Serie Taylor f° -> $a_{n} = \frac{f^{(n)} (0)}{n!}$ par dérivat°/unicité DSE
f im/pair -> $a_{2 n} = 0$ / $a_{2 n + 1} = 0$
$R_{n} (x) =_{x \to 0} o (x^{n})$ par def
TYRI -> $R_{n} (x) = \frac{1}{n!} \int_{0}^{x} (x - t)^{n} f^{n + 1} (t) d t$ et si il existe r>0 tq $\forall x \in] - r; r [$ , $R_{n} (x) \to_{n \to + \infty} 0$ <=> f est DSE (sinon utilise ITL maj va)
Binôme généralisé -> $(1 + x)^{α} \approx \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{\prod_{k = 1}^{n} (α - k + 1)}{n!} x^{n}$ pour $α$ entier ça conv sur $R$ sinon sur $] - 1; 1 [$

Fonctions

Général

f $D^{2}$ concave/vexe -> <=> $| f^{″} | > 0$ stricte
Courbe > tangete -> <=> termes ordre supérieur DL positifs
TVI -> f C, f(a)f(b)<0 => £sol f(x)=0 (!sol f mono str)
TBA -> f C sur $[a, b]$ (ou tt espace fermé bornée) est bornée
THM bij -> f C mono str I => f et f-1 bij C I
Rolle -> f C + d', f(a)=f(b) => £c< $[a, b]$ tq f'(c)=0
EAF -> f C d' $[a, b]$ => £c tq f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)
IAF -> f lipsch => |f(x)-f(y)|<=M(x-y), M peut être un majorant de la dérivée indep de x,y
Leibniz -> $(f g)^{(n)} = \sum_{n = 0}^{n} (\binom{n}{k}) f^{(k)} g^{(n - k)}$
ITY -> |f(x)-S(0->n)(x-a)^k.f(k)(a)/k!|<=M.(|x-a|^n+1)/(n+1)!
TYRI -> $f (x) - \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (y)}{k!} (x - y)^{k}$ = $\int_{y}^{x} \frac{f^{(n + 1)} (t)}{n!} (x - t)^{n} d t$ entre y et x deux variables
TYRI n,n+1 -> $f (n + 1) = \sum_{k = 0}^{N} \frac{f^{(k)} (n)}{k!} +$ $\int_{n}^{n + 1} \frac{f^{(N + 1)} (t)}{N!} (n + 1 - t)^{N} d t$
Carac sec lim: a,l ds R+-8, f->l en a ssi Vun ->a, f(un)->l
f C I ssi en tt pt a de I, f(x)->f(a)
D => C et D(n) => C(n-1)
Arcsin 1-, arccos 2- (c'est un peu + moche)
C(k) ssi k fois derivable et f(k)(x) C
C(k) difféomorphisme: reciproque f° C(k), bij sur I tq f'!=0 est C(k) sur f(I)
f=Oa(g) ssi f/g bornée a, o ssi f/g->0 en a
DL0 continue, DL1 derivable
Prop : Intégrer un DL donne un DL

Suites def. par fonction

uno ds I, I stable f => un(n>=no) ds I et définie
x ds I, f(x)>=x => un croiss (vis versa)
f croiss => $u_{n}$ mono à partir $n_{o}$
f décroiss => $u_{2 n}$ , $u_{2 n + 1}$ mono sens inverse
Si $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , où f:D→R est continue et $u_{0} \in I$

Etudier f sur $D_{f}$ (mono, croissance,…)
Résoudre eq aux limites $f (a) = a$ , que doit satisfaire éventuelle limite de $u_{n}$
Dét int $I$ stable par f sur lequel f est mono, et tel que $u_{0} \in I$ . On sait alors que $u_{n} \in I$ pour tout $n \geq 0$ . Svnt le tableau de variations de f donne la réponse. ( $\exists$ des cas où on ne peut pas y arriver pour $u_{0}$ , mais pr $u_{1}$ , ou $u_{2}$ )
a) f est croissante sur $I$ => (un) est mono sur $I$ , le sens de monotonie est donné par le signe de $u_{1} - u_{0}$ . Si (un) est bornée (parce que $I$ l'est par exemple) => THM lim mono donc $u_{n} \to l$ , sinon si (un) croiss, et $u_{0} > l$ sol de f(l)=l alors $u_{n}$ div vers $+ \infty$
b) f est décroiss sur $I$ => poser $g = f \circ f$ croissante sur $I$ et $v_{n} = u_{2 n}$ et $w_{n} = u_{2 n + 1}$ alors (vn) et (wn) tq $v_{n + 1} = g (v_{n})$ et $w_{n + 1} = g (w_{n})$ avec g croiss sur $I$ . Étudier (vn) et (wn) comme ds le cas précédent. Rappelons que la suite (un) converge si et seulement si (vn) et (wn) convergent vers la même limite.

SUITES DE FONCTION

CVS -> $\forall x \in J, \forall ϵ > 0, \exists N, n > N, | f n - f | < ϵ$
CVU -> $\forall ϵ > 0, \exists N, \forall x \in J, n > N, | f n - f | < ϵ$ <=> $s u p | f_{n} - f | \leq α_{n} \to 0$ avec $α_{n}$ bornée sur J
CVU ts -> => CVS
Thm inversion lim $\int$ int J -> fn CVU f, fn $C^{0}$ => inverti lim et $\int$ sur J
Dérivat° $C^{p}$ suite de f° -> $f_{n} C^{p}$ , $k \in [[0, p - 1 ∥ 0, p - 1]]$ , $f_{n}^{(k)}$ CVS, $f_{n}^{(p)}$ CVU => $f C^{p}$ et $f_{n}^{(k)}$ CVS $f^{(k)}$ et cas p non
HP: THM inv lim -> $f_{n}$ CVU f et $f_{n} (x)_{x \to a}^{=} b_{n}$ => $\sum b_{n}$ conv et $_{x \to a}^{l i m} f (x) =_{n \to + \infty}^{l i m}_{x \to a}^{l i m} f_{n} (x)$ = $_{n \to + \infty}^{l i m} b_{n}$

SÉRIES DE FONCTIONS

$\sum u_{n}$ CVU (ts) J -> $\sum u_{n}$ CVS et $(R_{n})_{n \geq n_{0}}$ CVU (ts) vers 0 (outil : CSSA |Rn|<|Un+1| puis passage sup)
$\sum u_{n}$ CVN -> <=> $\forall u_{n}$ borné et $\sum | | u_{n} | |_{+ \infty}$ conv
CVN Serie TG Un -> $\exists \sum A_{n}$ convergent tq $A_{n}$ positif et $(A n) \geq | u_{n} (x) |$ => $\sum u_{n}$ conv tq Un bornée et $\sum | | u_{n} | |_{i n f}$ conv
THM d' C0 Somme -> $\sum u_{n}$ CVU et $u_{n} C$ => $\sum u_{n} C$
CVU et lim $a \in I$ -> intervertir lim $\sum$ en a
Inv lim/ $\sum$ pr a $\in I \cup \bar{I}$ -> $\sum u_{n}$ CVU et $\forall n$ , $u_{n} (x)_{x \to a}^{=} l_{n}$ => conv/égal $\sum l_{n} =_{x \to a}^{l i m} (\sum u_{n} (x))$
Intégration tàt sur seg -> $\sum_{n \geq n_{0}} u_{n}$ CVU $[a, b]$ et $u_{n}$ $C ([a, b])$ => $\sum_{n = n_{0}}^{+ \infty} \int_{a}^{b} u_{n}$ $C^{0}$ et interv $\int$ et $\sum$ (fonctionne aussi a,b infinis)
THM d' C1 -> $u_{n}$ $C^{1}$ , $\sum u_{n}$ CVS, $\sum u_{n}^{'} (x)$ CVU (ts) => $\sum u_{n}$ $C^{1}$ et $(\sum u_{n})^{'} = \sum u_{n}^{'}$
THM d' $C^{p}$ -> $u_{n} \in C^{p}$ et $\sum u_{n}^{(p)}$ CVU (ts) I, $k \in [[0, p - 1 ∥ 0, p - 1]], \sum u_{n}^{(k)}$ CVS => $\sum u_{n}$ $C^{p}$ et o?interv d' et $\sum$
Comp Serie-Int -> f C, mono, positive alors serie TG f conv ssi int gen f conv
Inégalité sur f C, mono, decrois -> $\int_{k}^{k + 1} f \leq f (k) \leq \int_{k - 1}^{k} f$
Critère de Leibniz = CSSA
$max_{1 \leq j \leq n}$

INTÉGRALES À PARAMÈTRES

Transfo Laplace -> $L (f) (p) = \int_{0}^{+ \infty} f (t) e^{- p t} d t$
Transfo Fourier -> $f (ω) = \int_{\infty}^{+ \infty} f (t) e^{- i ω t} d t$
Conv Dom interv J -> $f_{n}$ Cpm et CVS f Cpm, $\exists φ (t)$ L1 tq $| f_{n} (t) | \leq φ (t)$ => $f_{n}$ et $f$ L1, $\int_{J} f = \int_{J} l i m (f_{n}) = l i m (\int_{J} f_{n})$
Int tàt généralisé -> $\sum f_{n}$ Cpm CVS $f$ Cpm tq $f_{n}$ L1 et $\sum \int | f |$ conv => $f$ L1 et $\int f = \int \sum f_{n} = \sum \int f_{n}$
Conv Dom para -> $f (x, t) \to_{x \to a} l (t)$ , $t \to f (t, x)$ et l(t) Cpm et $f$ dom => $l (t)$ , $t \to f (x, t)$ L1 et interversion limite $x \to a$ intégrale
Thm $C$ sous $\int$ -> $t \to f (x, t)$ Cpm (pr intégrer), x->f(x,t) $C^{0}$ (hyp nat) et dom f (aussi sr tt seg) => $x \to \int f (x, t) d t$ def, $C$
Thm d' $C^{1}$ -> $t \to f (x, t)$ L1, $x \to f (x, t)$ $C^{1}$ , $t \to \frac{\partial f}{\partial x} (x, t)$ Cpm et dominé => $g : x \to \int f (x, t) d t$ def $C^{1}$ et $g^{'} : x \to \int \frac{\partial f}{\partial x} (x, t) d t$
Thm d' Cp -> $x \to f (x, t)$ $C^{p}$ , $k \in [0, p - 1], t \to \frac{d^{k} f}{d x^{k}} L^{1}$ , et $t \to \frac{d^{p} f}{d x^{p}}$ $Cpm$ et dom ce dernier => $g : t \to \int f e s t C^{p}$ $e t g^{(i)} : x \to \int \frac{d^{i} f}{d x^{i}} (x) d t$

Probabilités

Événements

$P$ est une probabilité<=>
A,B indep -> $P (A \cap B) = P (A) P (B)$
Tribu $A$ sur $Ω$ -> $Ω \in A$ , et $\forall A \in A$ , $\bar{A} \in A$ . De plus $\forall$ réunions et intersections finies/ dénombrables de chaque famille $(A i)_{i \in I}$ est dedans
Plus petite tribu -> ${\emptyset, A, \bar{A}, Ω}$
Sigma additivité (dénombrable) -> Soit $(A_{n})$ une suite d'eve 2 à 2 incompatibles $P (⋃_{n \in N} {A_{n}}) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} P (A_{n})$
Sous additivité/inégalité boole -> $P (⋃_{n \in N} {A_{n}}) \leq \sum_{n = 0}^{+ \infty} P (A_{n})$ pour n'importe quels événements
$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B | A) = P (A) \cdot P (B)$ pour des événements indépendants
Proba conditionelles $P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ si $P (B) > 0$
Bayes $P (A | B) = \frac{P (B | A) \cdot P (A)}{P (B)}$ si $P (A) > 0$ et $P (B) > 0$
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
$P (A \cap B \cap C) = P (A) \cdot P (B | A) \cdot P (C | A \cap B)$
Loi conjointe $P_{(X, Y)} (x_{i}, y_{j}) = P (X = x_{i}, Y = y_{j})$ et alors lois X,Y sont loi marginales
$P (X = x_{i}) = \sum_{j = 1}^{q} P (X = x_{i}, Y = y_{j})$ on retouve LM avec LC
Si X,Y indep, loi conjointe = prod lois marginales
Loi des grands nombres : la moyenne d'un grand nombre d'événements aléatoires tend à se rapprocher de l'espérance théorique
Loi des probabilités totales : Si $A_{1}, A_{2}, . . ., A_{n}$ sont des événements mutuellement exclusifs et exhaustifs (c'est-à-dire que $A i \cap A j = \emptyset$ pour $i \neq j$ et $\cup_{i = 1}^{n} A_{i} = Ω$ <=> $⨆_{i = 1}^{n} A_{i} = Ω$ ) donc est un SCE : $\forall$ B , P(B)= $\sum P_{A i} (B) P (A i)$
Union evénements disjoints -> Proba union est somme probas
Intersection événements indep -> Proba intersect° est prod probas
Thm $C$ (dé)croiss -> $(A_{n})$ (dé)croissant pr l'inclusion $A_{k} \subseteq A_{k + 1}$ (ou inverse) alors $P (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) = lim_{n \to \infty} P (A_{n})$ (sinon intersection)
Complementaire union -> $\overset{―}{⋃ A_{n}} = ⋂ \overset{―}{A_{n}}$
$\bar{A_{n}}$ mut indep -> $A_{n}$ mut indep

Variables aléatoires

X va -> Im(X) au plus dénombrable (par réunion ens denomb), et X=k s'exprime en fonction d'événements
Thm Fubini -> $\forall$ fam sommable $(u_{i, j})$ on peut invertir $\sum$ sur i et sur j
$\sum a_{i} b_{j}$ sommables -> $= \sum a_{i} \sum b_{j}$ (Cauchy)
Conv séries doubles -> $\forall (a_{i, j})$ tq $\forall i \in N$ , $\sum_{j \in N} a_{i, j}$ CVA et $\sum_{i \in N} \sum_{j = 0}^{+ \infty} | a_{i, j} |$ conv alors (a_{i,j}) sommable et peut inverser sommes
VA discrète -> $X (Ω)$ au plus dénombrable
$E (X) = \sum_{x_{i}} x_{i} P (X = x_{i})$ est linéaire $E (a X + b) = a \cdot E (X) + b$
Formule transfert -> f def X( $Ω$ ) $E (f (X)) = \sum f (x) P (X = x)$ idem pr couple $P (X = x, Y = y)$ et n-uplet
Cauchy-Swartz proba -> $E (X Y)^{2} \leq E (X^{2}) E (Y^{2})$ avec égalité si X,Y proportionels et $| c o v (X, Y) | \leq σ (X) σ (Y)$ avec égalité X=aY+b
$V (X) = E ((X - E (X)^{2})$ $= \sum_{x_{i}} (x_{i} - E (X))^{2} \cdot P (X = x_{i})$ pas linéaire $V (a X + b) = a^{2} \cdot V (X)$ , et $V (X) = σ (X)^{2}$
V.A. centrée réduite -> V(X)=1 et E(X)=0
Centrer et réduire une VA -> $\frac{X - E (X)}{σ (X)}$
König-Huygens -> X espérance alors $V (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} \geq 0$
X admet moment ordre p -> $E (X^{p}) = M O p$ finie (X admet MOp => MOq pr q $\leq$ p)
X, Y VADR MO2 -> XY admet MO1
Covariance -> $C o v (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) =$ $E ((X - E (X)) (Y - E (Y)))$ et cov est forme bilinéaire sym positive (pas prod sca car pas définie positive)
$V (X + Y) = V (X) + V (Y) + 2 Cov (X, Y)$ et cov nulle si X,Y indep => $V (X) = C o v (X, X)$
Corrélation -> $C o r r (X, Y) = \frac{C o v (X, Y)}{\sqrt{V (X) \cdot V (Y)}}$
Lemme coalitions $(X_{i})$ VA mut indep -> $\forall f_{i}$ def sur $I m (X_{i})$ , VA $(f_{i} (X_{i}))$ sont indep
Inégalité Markov -> $\forall a > 0, P (Z ⩾ a) ⩽ \frac{E (Z)}{a}$
Bienaymé-Tchebychev -> $P (| X - E [X] | \geq ϵ) \leq (\frac{σ}{ϵ})^{2}$
Tout VADR a val finies admet espérance finie
VA mutuellement indep <=> proba n'importe quel intersection est le produit des probas

Fonctions génératrices

f° gén RC -> $\geq 1$ , et CVN sur $\bar{D} (0, 1)$ disque fermée, $G_{X} (t) = E (t^{X})$ , $C [0, 1]$ et $C^{+ \infty}] 0, 1 [$
loi X f° gén -> $P (X = n) = \frac{G_{X}^{(n)} (0)}{n!}$ comme TY
E f° gén -> MO1 => $G_{X}^{'} (1) = E (X)$ , MO2 => $G_{X}^{″} (1) = E (X (X - 1)) = E (X^{2}) - E (X)$
V f° gén -> MO2, $V (X) = G_{X}^{″} (1) + G_{X}^{'} (1) - (G_{X}^{'} (1))^{2}$
f° gen X+Y pr X,Y indep -> $G_{X + Y} = G_{X} G_{Y}$

Lois Usuelles

Loi uniforme -> $P (X = x) = \frac{1}{n}$ , $E (X) = \frac{n + 1}{2}$ , $V (X) = \frac{(n^{2} - 1)}{12}$ , $G_{X} (t) = \frac{t}{n} \frac{1 - t^{n}}{1 - t}$ ou 1 si t=1
Bernoulli -> $P (X = x) = {\begin{cases} p & si x = 1 \\ 1 - p & si x = 0 \end{cases}$ , $E (X) = p$ , $V (X) = p (1 - p)$ , $G_{X} (s) = 1 - p + p s$
Loi binomiale -> $P (X = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}$ , $E (X) = n p$ , $V (X) = n p (1 - p)$ , $G_{X} (s) = (1 - p + p s)^{n}$
Loi de Poisson -> $P (X = k) = \frac{λ^{k} \cdot e^{- λ}}{k!}$ , $E (X) = λ$ , $V (X) = λ$ , $G_{X} (s) = e^{λ (s - 1)}$ avec $λ > 0$
Poisson approxime binomiale -> si n grand, p petit, $n p \approx λ$ car si p ~ $\frac{λ}{n}$ alors proba bin tends vers proba poisson
Loi géométrique -> $P (X = k) = q^{k - 1} p$ , $E (X) = \frac{1}{p}$ , $V (X) = \frac{q}{p^{2}}$ , $G_{X} (t) = \frac{p t}{1 - q t}$
$X \to G (p)$ <=> $P (X > X) = (1 - p)^{k}$
Loi géo sans mémoire -> sachant (X>k), X-k suit même loi X <=> $X \to G (p)$
Loi de Rademacher -> $P (X = 1) = 1 / 2 = P (X = - 1)$ , $E (X) = 0$ , $V (X) = 1$
Additivité loi de poisson pr $X, Y \to P (λ), P (μ)$ -> $X + Y \to P (λ + μ)$
Formule antirépartition $X$ VARD finie tq $X (Ω) \subset [[0; N]]$ -> $E (X) = \sum_{k = 0}^{N - 1} P (X > k)$
Loi normale $N (μ, σ^{2})$ , -> distrib $P$ $C$ définie par $μ$ (moy) et $σ^{2}$ (var) : $f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{(x - μ)^{2} }{2 σ^{2}}}$

Matrices

Général

Matrice compagnon -> $χ_{M} = X^{p} + \sum_{k = 0}^{p - 1} a_{k} X^{k}$ démo $(X I_{p} - M)$ ~ $L_{1} = L_{1} + \sum$ donne P(x)

M = (\begin{matrix} 0 & \dots & 0 & - a_{0} \\ 1 & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ ⋱ & 0 & - a_{p - 2} \\ (0) & 1 & - a_{p - 1} \end{matrix})

$M^{2} = I_{n}$ -> M est un sym car f° s associé car $s \circ s = i d_{E}$ caract sym
vp $A^{2}$ si A sym reel -> $A = P D P^{T} = A^{T}$ donc $A^{2} = P D^{2} P^{T}$ donc vp $A^{2}$ sont vp A au carré
dev. poly caract -> $λ μ = \frac{(λ + μ)^{2} - λ^{2} - μ^{2}}{2}$ sert quand dev $χ_{A} = X^{n - 2} (X - λ) (X - μ)$ = $X^{n} - (λ + μ) X^{n - 1} + λ μ X^{n - 2}$
Invariants similitude -> tr, det, $χ$ , rg, sp
Mat sym -> fonction associé est endomorphisme
det(AB) -> = det(A)det(B)
Trace Proj -> Tr(P)=rg(P) car $s p (B) \in {0, 1}$
$B^{2} = B$ et B sym -> b canon associé B proj $⊥$

Mat orthog (= isométrie EE)

$M \in O_{n} (R)$ -> $M^{T} M = I_{n}$
$d e t (M) = \pm 1$ -> $d e t (M M^{T}) = d e t (M) d e t (M^{- 1})$ = $d e t (M)^{2} = d e t (I_{n})$
$s p (A) \subset {- 1, 1}$ -> symétrie

Réduction

Poly caract -> $χ_{M} = X^{n} - t r (M) X^{n - 1} +$ ... $+ (- 1)^{n} d e t (M)$
Prop Sep -> $E_{λ} = K e r (u - λ i d)$ et $\oplus_{λ \in S p} E_{λ}$ et $1 \leq d i m (E_{λ}) \leq m (λ)$
Diag Sep -> $\oplus_{λ \in S p} E_{λ} = E$ <=> dim(E)= $\sum d i m (E_{λ})$ <=> mat diagonalisable
Diag $χ_{M}$ -> CS scindé racines simples, CNS scindé et $\forall λ_{i}$ , $d i m (E_{λ_{i}}) = m (λ_{i})$
Diag poly annulateur -> CS scindé racines simples
THM spectrale u autoadj
M (def) pos -> vp de M (strict) supérieurs à 0 alors $M \in S_{n}^{+}$ , inverse pour def neg,
rg(u)=1 alors diag ssi trace non nulle
Si range pas maximale alors 0 valeur propre: démo photo valentine, dim(KerA)=n-1 alors 0 vp de dim au moins n-1
Si dim(KerA)=n-1 alors $(X - 0)^{n - 1}$ divise le polynôme caractéristique donc il n'y a aucun terme de dimension $< n - 1$ donc $X (A) = X^{n - 1} (X + α)$ or en développant $α = - t r (A)$
Hamilton-Cayley -> $χ_{A}$ est poly annul A
Trigonalisable -> poly caract scindé

Algèbre générale

Algèbre PCSI

Il y a $n^{p}$ aplications de $[[1, p ∥ 1, p]] d s [[1, n ∥ 1, n]]$
Injecte toi un max d'alcool, surjette un minimum d'eau
Inj <=> Ker={0}, surj <=> Im=F
Inversible -> 0 pas vp
Somme dir = FnG={0} = decomp unique
proj ortho g sur F sev E -> $x = x^{'} + x^{″}$ avec $x^{'} \in F$ , $x^{″} \in F^{⊥}$ alors $p (x) = x^{'}$ et $x^{'} ⊥ x^{″}$ <=> $| | p (x) | | \leq | | x | |$ caractérisat°
Relat° s,p -> $u \in E$ , $F \subset E$ alors $p_{F} (u) = \frac{1}{2} (s_{F} (u) + u)$ lie projeté sur F et la réflexion (symétrie) par rapport à F
prod sca canon -> $(x | y) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}$ ds $R^{n}$ et $\sum_{i = 1}^{n} {\overset{―}{x}}_{i} y_{i}$ ds $C^{n}$
Soit $F=\{x \in E| \sum {#n_} {i=1}x_i=0\}$ -> $F = V e c t (e_{1} - e_{2}, e_{1} - e_{3}, . . ., e_{1} - e_{n})$ car fam libre card n-1 gen et $x=e_1\sum {#n_} {i=1}\alpha_i- \sum {#n_} {i=1}\alpha_i e_i$ donc $\sum x_{i} = 0$
endo u bij <=> surj <=> inj -> $d i m (k e r (u)) = 0$ , THM rg $d i m (E) = d i m (I m (u))$ or $I m (u) \subset E$ => Im(u)=E => f est surjective => f bij
Bases -> normée VS orthogonal << orthonormée (les deux)

Géométrie

s sym / F // G -> $\forall x = f + g$ , $s (x) = f - g$ <=> $s (s (x)) = x$
p proj sur F // G -> $\forall x = f + g$ , $p (x) = f$ <=> $p (p (x)) = p (x)$
sym dim finie n -> symétrie orthog / à un hyperplan F = réflexion, si dim(F)=n-2 = renversement
p proj
$det (\vec{u} \vec{v}) = 0$ ssi $\vec{u}, \vec{v}$ colineaires
det que pour mat $\in M_{n} (K)$
$\vec{u} . \vec{v} = 0$ ssi $\vec{u}, \vec{v}$ orthog
pour determiner l'orthog d'une droite $Δ$ prendre un vecteur dir resultant de la difference des coord de 2 pts de $Δ$
$M \in C e r c l e$ de diametre AB ssi $\vec{A M} . \vec{B M} = 0$
$α a + β b + γ c = l$ est un plan ssi $(α, β, γ) \neq (0, 0, 0)$ et alors ce vecteur est orthog (demo: prendre u ds plan, prod sca avec $(α, β, γ)$ doit faire $l$ )
$\vec{u}$ ^ $\vec{v}$ = $u . v \sin (θ)$ et prod sca avec cos
Plan F=Vect(a,b) de $R^{3}$ -> $u \in F$ <=> det(u,a,b)=0 donne eq cart du plan
Cart ax+by+cz=0 -> e=(a,b,c) est vect normale au plan car $u \in F$ <=> $(u | e) = 0$
Soit p proj sur F plan $R^{3}$ , h proj sur $F^{⊥}$ -> $\forall x \in R^{3}$ , $h (x) + p (x) = x$ permet de remonter à la proj à partir du vect orthog d'un plan cartésien (puis la sym avec la relat° fond)

EE 1 : prop

espace eucl -> EV reel dim finie muni <.>
espace prehilb -> ee dim infinie, $R$ ou $C$ , pas nécessairement complet
espace complet -> espace metrique (admet distance) ou suites Cauchy conv
norme-sca -> $| | x | |^{2} = (x | x)$
Prod sca -> sym bilin ( $< u + λ v, w >=< u, w >$ + $λ < v, w >$ ) def pos ( $< x, x >\geq 0$ et $< x, x >= 0 => x = 0$ ) (to scale society, il faut que tu "semble blanc de peau")
Prod sca canon -> $(X | Y) = Y^{T} X$
Pythagore -> pr fam orthog $| | \sum x_{i} | | = \sum | | x_{i} | |$
Orthogonal partie F -> sev de E tq $F^{⊥} = {y \in E | \forall x \in F, (x | y) = 0}$ = $(V e c (F))^{⊥}$ et F et $F^{⊥}$ en somme directe (mais pas nécessairement supplémentaires ds E en dimension infinie)
dim orthog partie -> dimE=dimF+dim $F^{⊥}$
Base EE orthon -> tt ee $\neq {O_{E}}$ admet une base orthon (eg poly lagrange), et tt fam orthon peut être complétée en une base orthon
Décomp x bon -> $x = \sum_{i = 1}^{n} (x | e_{i}) e_{i}$
Gram-Schmidt -> $v_{1} = e_{1} / | | e_{1} | |$ , $u_{k + 1} = e_{k + 1} - \sum_{i = 1}^{k} (e_{k + 1} | v_{i}) . v_{i}$ puis $v_{k} + 1 = u_{k + 1} / | | u_{k + 1} | |$ est la famille
Proj orthog sur F = Vect( $e_{1}, . . . e_{q}$ ) fam orthog -> $p_{F} (x) = \sum_{i = 1}^{q} \frac{(x | e_{i})}{| | e_{i} | |^{2}} e_{i}$ ou sans ||.|| si orthon
Inégalité Bessel -> | $| p_{F} (x) | |^{2} \leq | | x | |^{2}$
Distance sev d(x,F)= $i n f_{f \in F} | | x - f | |$ et $f = p_{F} (x)$ si proj orthog => $d (x, F)^{2} = | | x | |^{2} - | | p_{F} (x) | |^{2}$

EE 2 : endomorphismes

iso-métries vect = même mesure (norme) -> $u \in O (E) \in G L (E)$ tq $| | u (x) | | = | | x | |$ <=> $(u (x) | u (y)) = (x | y)$ <=> u(bon) est bon (directe si det(u)=1) <=> $\exists$ ou $\forall$ bon mat M de u orthog ( $M M^{T} = I_{n}$ )
inverse iso -> u inv (det $\neq 0$ ) et -u et $u^{- 1}$ aussi iso vect
caract sp det iso -> sp $\in$ {-1,1} car $| | u (x) | | = | | x | | = | | λ | . | | x | |$ => det $\in$
iso = bij (automorph) -> $x \in K e r (u)$ => $| | x | | = 0_{E}$ => $K e r (u) = 0_{E}$ or dim finie et endo => bij
F stable iso u => $F^{⊥}$ stable u -> $x \in F^{⊥}$ , u bij, $u (F) \subset F$ , dim finie => u(F)=F => $u^{- 1}$ iso laisse stable F, donc $y \in F$ , $(u (x) | y) = (x | u^{- 1} (y)) = 0$ donc $u (x) \in F^{⊥}$
Group $⊥$ O(E) -> ensemble des iso $\subset G L_{n} (E)$ , ens stable par composit°
Grp Special $⊥$ -> SO(n) = $O^{+} (n)$ , iso vect det(M)=1 ( $\neq O^{-} (n)$ det=-1)
SO(2) -> rotations $$ R_\theta=\begin{pmatrix}
cos(\theta) & -sin(\theta) \
sin(\theta) & cos(\theta) \
\end{pmatrix}$$
Demo O(2) -> A=mat(a,b,c,d) $\in$ O(2) => $a^{2} + b^{2} = 1$ , $c^{2} + d^{2} = 1$ , $a c + b d = 0$ donc va $\leq$ 1 => paramétrisation $a = c o s (θ)$ donc $b = s i n (θ)$ idem c,d avec $ϕ$ , or (3)=> $s i n (θ + ϕ) = 0$ donc $ϕ = - θ [π]$ donc deux cas $ϕ = - θ [2 π]$ (SO(2)) et $ϕ = π - θ [2 π]$ ( $O^{-} (n)$ )
Prop $R_{θ}$ -> $R_{θ} = R_{ϕ}$ => $θ = ϕ [2 π]$ , $R_{θ} R_{ϕ} = R_{θ + ϕ}$ , $R_{θ}^{- 1} = R_{- θ}$ , $R_\theta {#k} =R_{\theta k}$
$O^{-} (2)$ -> symétries (donc $S_{θ}$ sym)$$ S_\theta=\begin{pmatrix}
cos(\theta) & sin(\theta) \
sin(\theta) & -cos(\theta) \
\end{pmatrix}$$
Sym/autoadj -> u(E) tq $(x | u (y)) = (u (x) | y)$ <=> M tq $\exists$ bon ou M sym
(( u<S alors sep orthog))
Proj et sym sont orthog si < S(E)
Thm spectrale -> u autoadj => u diag ds bon vecteurs propres, et P<O(E), P-1MP=tPMP=D
THM sp -> M symétrique à coeffients $R$ est diagonalisable, si u un endo sym d'un eve E => $\exists$ bon de E constituée de vect propres
Forme linéaire -> $f : E \to R$ linéaire, de rang 1 sauf si identiquement nulle
THM de représentation de Riesz -> H espace de Hilbert, f forme linéaire $C$ , def sur H => $\exists! y \in H$ tq $\forall x \in H$ , f(x)=⟨x,y⟩
THM determinat° app par base -> $(e_{i})_{i \in I}$ base de E, $(f_{i})_{i \in I}$ fam de F : $\exists! u \in L (E, F)$ tq $u (e_{i}) = f_{i}$ pour tout $i \in I$ , et u inj <=> $(f_{i}) i \in I$ libre ds F; u surj <=> $(f_{i})_{i \in I}$ gen de F; u bij <=> $(f_{i})_{i \in I}$ base de F.

Normes:

norme sur ev E -> positive, séparable ( $| | x | | = 0$ => x= $0_{E}$ ), homogène ( $| | λ x | | = | λ | . | | x | |$ ), respecte IT alors (E, $| | . | |$ ) est EVN
Norme 1 E -> $| | x | |_{1} = \sum_{k = 1}^{n} | x_{k} |$
Norme 1 $C$ -> $| | f | |_{1} = \sqrt{\int_{a}^{b} f^{2}}$
Norme 2 E -> $| | x | |_{2} = \sqrt{\sum_{k = 1}^{n} | x_{k} |^{2}}$
Norme inf -> $| | x | |_{+ \infty} = m a x_{1 \leq k \leq n} (| x_{k} |)$
Norme CVU -> ev applicat°s bornées de X ds $K$ admet $| | f | |_{\infty} = s u p_{x \in X} | f (x) |$
Norme -> Je trouve ça pas NORMALE qu'il soit POSITIVE de SÉPARER ( $| | x | | = 0 => x = 0$ ) les HOMOsexuels ( $| | λ x | | = | λ | | | x | |$ ) afin de réduire les INÉGALITÉS (triangulaire)
CS -> $| < x, y > | \leq | | x | | . | | y | |$
Minowski (triang) -> $| | x + y | | \leq | | x | | + | | y | |$
CS canon -> $| \sum a_{i} b_{i} | \leq \sqrt{\sum a_{i}^{2}} \sqrt{\sum b_{i}^{2}}$
Minowski canon -> $\sqrt{\sum (a_{k} + y_{k})^{2}} \leq \sqrt{\sum a_{k}^{2}} + \sqrt{\sum b_{k}^{2}}$
f $C^{0}$ -> Minowski (eg CS aussi) $\sqrt{\int_{a}^{b} | f + g |^{2}} \leq \sqrt{\int_{a}^{b} | f |^{2}} \sqrt{\int_{a}^{b} | g |^{2}}$
Montrer fermé -> 1) existe tjrs boule centré tt point 2) image par f° continue d'un fermé

Normes de Matrice:

Si E a une structure d'algèbre (e.g. E est l'algèbre des matrices carrées d'ordre n sur $R$ ) une norme matricielle (ou norme d'algèbre) N sur E est une norme qui respecte la structure de ce produit donc tq $N (A B) \leq N (A) N (B)$

Topologie

général

f paire et $C^{2}$ $-> f'(0)=0
Ouvert -> au vois $\forall$ pts (existe boule incluse rayon $\neq 0$ : $\forall a \in A$ , $\exists r > 0$ , $B (a, r) \subset A$ ) : caract image réciproque par fonction continue d'un evn
B fermé -> image réciproque par fonction continue d'un fermé d'un evn; => $R^{2} / B$ ouvert
Voisinage -> $V \in R^{2}$ est vois $a \in R^{2}$ <=> $\exists r \in R_{+}^{*}$ , $B (a, r) \subset V$
f $C$ pt de $R^{2}$ -> $a \in A$ un ouvert, $\forall ϵ > 0$ , $\exists δ > 0$ , $\forall x \in A$ , $| | x - a | | \leq δ => | f (x) - f (a) | \leq ϵ$ <=> $x \in \bar{B} (a, δ)$ => $f (x) \in \bar{B} (f (a), ϵ)$

Calcul diff plusieurs var :

(cof)'(x)=f'(x)c'(f(x)) cofi fi cif ((covfi fi siph)
f $C$ A ouvert -> f $C$ tt pt <=> app partielles (1 var non fixée) $C$ en tt pt
d' partielle en $x_{0}$ existe -> $l i m_{t \to x_{0}} \frac{f (\binom{t}{y_{o}}) - f (\binom{x_{o}}{y_{o}})}{t - x_{o}}$ $= \frac{\partial f}{\partial x} (\binom{x_{o}}{y_{o}}) = \partial_{1} f$ existe (<=> $h = t - x_{o}$ )
f $C^{1}$ sur ouvert -> admet 2 d' part. $C$
Dev Taylor = DL1 f $C^{1}$ en $a = (\binom{x_{o}}{y_{o}})$ -> $f (X) = f (a) + \partial_{1} f (a) (x - x_{o})$ $+ \partial_{2} f (a) (y - y_{o}) + o (| | X - a | |)$ ou idem avec $a^{'} = (x_{o} + h, y_{0} + k)$ avec un $o (| | (h, k) | |)$
IAF ->
Plan tangent -> DL1(a) => plan tangent $z =$ $f (a) + (x - x_{0}) \frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) + (y - y_{0}) \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0})$
Gradient f $C^{2}$ -> $\nabla f = (\binom{\partial_{1} f}{\partial_{2} f})$ , orienté pente max et =0 en pt crit ; dans Taylor $f (a^{'}) = f (a) + < \nabla f (a) | (h, k) >$ $+ o (| | (h, k) | |)$
f d' selo' vecteur u -> $\frac{f (a + t u) - f (a)}{t}$ admet lim finie $t \to 0$ noté $f^{'} (a) = \partial_{u} f (a) =< \nabla f (a), u >$
Jacobienne -> mat $J_{f} (a) \in M_{n}$ des $\frac{δ f_{i}}{δ x_{j}} (a)$
Jacob composée f,g $C^{1}$ -> donne RDlC $J_{g \circ f} (a) = J_{g} (f (a)) J_{f} (a)$
RdLC f: $R \to R^{n}$ et g inverse -> $\frac{d g \circ f}{d t} (t) = \sum_{j = 1}^{n} \frac{δ g}{δ x_{j}} (f (t)) \frac{d x_{j}}{d t} (t)$ = $(\nabla g (f (t)) | f^{'} (t))$
RdLC 1 var -> $(u \circ v)^{'} = v^{'} . u^{'} \circ v$ donc $\frac{d}{d t} f \circ x (t) = \frac{d f}{d t} (x (t)) x^{'} (t)$
RdlC 2 var -> $X (t) = (\binom{x (t)}{y (t)})$ alors $\frac{d}{d t} (f \circ X (t)) = \frac{\partial f}{\partial x} (X (t)) . x^{'} (t) + \frac{\partial f}{\partial y} (X (t)) . y^{'} (t)$
Hessiene -> mat $M_{f} (a) \in M_{n}$ des $\frac{δ^{2} f}{δ x_{j} δ x_{j}} (a)$
Extremum local (ext. loc.) f $C^{0} (U)$ -> $\exists B (a, r)$ ouverte tq $\forall x \in U \cap B$ , $f (x) \geq 0$ min (ou $\leq 0$ max)
CS a min (max) -> $\nabla f (a) = 0$ et $H_{f} (a) \in S_{n}^{+ +}$ ( $S_{n}^{- -}$ pr max)
CN a ext -> $H_{f} (a) \in S_{n}^{+} \cup S_{n}^{-}$
Hessienne f $C^{2}$ 2 var -> a pt crit, $H_{f} (a) = M a t (r, s, s, t)$ (Swartz)
Cas a ext. loc. pr f° $C^{2}$ 2 var -> $d e t (H_{f} (a)) \geq 0$ et min si $t r (H_{f} (a)) \geq 0$ (max $\leq 0$ )
Cas $d e t (H_{f} (a)) > 0$ pr f° $C^{2}$ 2 var -> a ext. loc. et $t r (H) > 0$ => min loc. (<0 => max loc.)
C'est toujours l'inverse signe pour max min pr trace et def pos neg