Fiche Mnemotechnique Physique

MAGNÉTOSTAT PCSI

• LDChamps -> courbe auquel $\overrightarrow{B}$ tangent
• Bobines Helmoltz -> 2 bobines coaxiales
• Solénoïde $\mathrm{\infty }$ -> $B={\mu }_{0}ni$
• Moment mag spire -> $\overrightarrow{m}=IS\overrightarrow{n}$, $\overrightarrow{n}$ selon RdlMainDroite, $[m]=A.m^2$
• Laplace -> $\overrightarrow{F_L}=i\overrightarrow{dl}\wedge \overrightarrow{B}$
• Rails Laplace -> Barre MN mobile complète circuit fixe, $F_L=i({\int }_{MN}\overrightarrow{dl})\wedge \overrightarrow{B}=i\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{B}$
• Puiss $F_L$ -> $P(F_L)=iMN{B}_0{v}_x>0$ => $F_L$, $\overrightarrow{v}$ même sens => motrice (sinon rés)
• Spire SPQR (rect) rot axe $\mathrm{\Delta }$ -> $\overrightarrow{n}$ RdlMD forme angle $\theta$ avec $\overrightarrow{B}$ ds plan orthog spire, ${\overrightarrow{F}}_{SP}=i\overrightarrow{SP}\wedge \overrightarrow{B}=-{\overrightarrow{F}}_{QR}$ or pt applicat° diff => couple forces idem autres
  
• Momen rés SPQR centre O -> ${\overrightarrow{F}}_{SP}$, ${\overrightarrow{F}}_{QR}$ ont droites d'act° passant O => moment / O nulle, $\overrightarrow{\mathrm{\Gamma }}={\overrightarrow{M}}_O({\overrightarrow{F}}_{PQ})+{\overrightarrow{M}}_O({\overrightarrow{F}}_{RS})$=$\overrightarrow{OH}\wedge {\overrightarrow{F}}_{PQ}+\overrightarrow{OK}\wedge {\overrightarrow{F}}_{RS}$=$\overrightarrow{OH}\wedge 2{\overrightarrow{F}}_{PQ}$ or $\vec{OH}=\frac{b}{2}cos(\theta)-\ff
• $\overrightarrow{\mathrm{\Gamma }}=\sum \overrightarrow{M}(\overrightarrow{f})=\overrightarrow{m}\wedge \overrightarrow{B}$ ds champ mag
• $\overrightarrow{M}(\overrightarrow{f})=\overrightarrow{OM}\wedge \overrightarrow{f}$ mf Ô mf
• Loi lenz -> $i_{induit}$ tends par ${\overrightarrow{B}}_{induit}$ modérer variation de $\varphi (\overrightarrow{B})=L.i+M.i_{autresbobines}$
• Inductance mutuelle -> $[M]=H$
• Loi de Faraday : $e_{induit}=-\frac{\partial \varphi (\overrightarrow{B})}{\partial t}$
• P=Ui=-$e_{induit}i$=$\frac{\partial \frac{1}{2}L{i}^2}{\partial t}$ donc $E_L=\frac{1}{2}L{i}^2$
• $I=\int \int \overrightarrow{j}\overrightarrow{dS}$

ÉLECTROSTATIQUE

• $\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{grad}(V)$ seulement quant $\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{E})=\overrightarrow{0}$
• Poisson $\mathrm{\Delta }V=\frac{-\rho }{{ϵ}_0}$
• Laplace qd $\rho =0$
• $\overrightarrow{E}$ orienté vers potentiels décroissants
• V=0 n'implique pas E=0
• Potentiel électrostatique -> $\overrightarrow{A}$

FORCES ELECTROSTAT

• $\overrightarrow{F_{A\to B}}=\frac{q_a{q}_b}{4\pi {ϵ}_0}\frac{\overrightarrow{AB}}{A{B}^3}$ force de Coulomb
• $V(M)=\sum \frac{q_i}{4\pi {ϵ}_0{A}_{i}M}$
• $\overrightarrow{E}(M)=\sum \frac{q_i}{4\pi {ϵ}_0}\frac{\overrightarrow{A_{i}M}}{A_i{M}^3}$ champs elec distrib
• $\overrightarrow{E}(M)=\int \int \int \frac{\rho (P)}{4\pi {ϵ}_0}\frac{\overrightarrow{PM}}{P{M}^3}d{\tau }_p$ champs elec distrib
• Sphérique $d{\tau }_M=r^{2}drd\theta sin(\theta )d\varphi$
• $\pm$ sym ${\mathcal{D}}_{charges}$ est $\pm$ sym $\overrightarrow{E}$, et $\pm$ sym ${\mathcal{D}}_{courant}$ est $\mp$ sym $\overrightarrow{B}$
• Champs tangent plan sym, orthog antisym
• Plan sym rotationnel est anti sym champ
• LDC $\overrightarrow{B}$ -> pôle nord vers sud (traj q)
• LDC $\overrightarrow{E}$ -> traj q > 0 libre (charge + vers -)
• $\overrightarrow{E}$, $\overrightarrow{B}$ tangent -> aux LdC
• $\text{Cylindrique }\overrightarrow{grad}(U)=\frac{\partial U}{\partial r}\overrightarrow{u_r}+\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\overrightarrow{u_{\theta }}+\frac{\partial U}{\partial z}\overrightarrow{u_z}$
  $div(\overrightarrow{E})=\frac{1}{r}\frac{\partial r{E}_r}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial E_{\theta }}{\partial \theta }+\frac{\partial E_z}{\partial z}$
  $\text{Delta(V)=frac{1 }{r } frac{ partial }{ partial r }(rfrac{ partial V }{ partial r })+frac{ 1 }{ r^2 } frac{ partial { <a class="tag" onclick="toggleTagSearch(this)" data-content="\#2">\#2</a>} V}{ partial { <a class="tag" onclick="toggleTagSearch(this)" data-content="\#2">\#2</a>} theta }+frac{ partial { <a class="tag" onclick="toggleTagSearch(this)" data-content="\#2">\#2</a>} V }{ partial { <a class="tag" onclick="toggleTagSearch(this)" data-content="\#2">\#2</a>} z }}$
• Force (cons) champ -> $\overrightarrow{F_{elec}}=q\overrightarrow{E}(M)=-\overrightarrow{grad}(E_p)$
• $E_{pot}(M)=qV(M)$
• $\overrightarrow{B}selon{\overrightarrow{u}}_{\theta }\Rightarrow \text{turns autour }{\overrightarrow{u}}_z\Rightarrow \overrightarrow{rot}\text{porte par }{\overrightarrow{u}}_z$
• $$\text{text{Cylindrique: } vec{rot}(vec{A}) =begin{pmatrix}}$$

\frac{ \partial A_r }{ \partial z } -\frac{ \partial A_z }{ \partial r } \
\frac{ 1 }{ r } (\frac{ \partial rA_r }{ \partial r } - \frac{ \partial A_r }{ \partial \theta } ) \

\end{pmatrix}$$

• $$\overrightarrow{rot}(F)=\mathbf{\nabla }\wedge \mathbf{F}=\left(\begin{array}{c}\partial {\mathrm{F}}_z/\partial y-\partial {\mathrm{F}}_y/\partial z\\ \partial {\mathrm{F}}_x/\partial z-\partial {\mathrm{F}}_z/\partial x\\ \partial {\mathrm{F}}_y/\partial x-\partial {\mathrm{F}}_x/\partial y\end{array}\right)$$
• $$⟺\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{F}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge F=(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z})\overrightarrow{u_x}+(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x})\overrightarrow{u_y}+(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})\overrightarrow{u_z}$$

MAXWELL

• Dimensions champs -> $[E]=V.m^{-1}$, $[B/{\mu }_0]=A.m^{-1}$
• Eq cons charge -> $\frac{\delta \rho }{dt}+div(\overrightarrow{j}(M,t))=0$ établi par bilan Q cylindre 1D ou div(MA) => $div(\overrightarrow{j})+{ϵ}_0\frac{\delta div\overrightarrow{E}}{\delta t}=0$ puis MG
• célérité lum -> ${\mu }_0{ϵ}_0=1/c^2$
• Thm Gauss -> $\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{E})=Q_{int}/{ϵ}_0$ demo ostro, MG
• B flux cons sur $\mathrm{\Gamma }$-> $\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{B})=0$ demo ostro, M$\mathrm{\Phi }$ puisqu'il n'existe pas de monopôle magnétique
• Loi Faraday -> ${\mathcal{C}}_E(t)=-\dot{{\mathrm{\Phi }}_B}$ demo stokes, MF, et pr circuit = $e_{induit}$
• L cste ${\mathrm{\Phi }}_B=Li(t)$ -> car $U=L\frac{di}{dt}=\frac{d{\mathrm{\Phi }}_B}{dt}$
• Thm Ampère -> ${\mathcal{C}}_B(t)={\mu }_{0}I+\frac{1}{c^2}\dot{{\mathrm{\Phi }}_E}$ sur $S_{\mathrm{\Gamma }}$ appuyé $\mathrm{\Gamma }$ fermé, en electrostat $\dot{{\mathrm{\Phi }}_E}=0$
• Eq Poisson -> $\mathrm{\Delta }V+\frac{\rho (M)}{{ϵ}_0}=0$ demo div(MG)
• Effet joule -> $P_V=\overrightarrow{j}\overrightarrow{E}=\gamma {\overrightarrow{E}}^2=\frac{{\overrightarrow{j}}^2}{\gamma }$
• E électromag -> $u_{em}={ϵ}_0\frac{{\overrightarrow{E}}^2}{2}+\frac{1}{{\mu }_0}\frac{{\overrightarrow{B}}^2}{2}$ en $J.m^{-3}$
• Poynting -> $\overrightarrow{\mathrm{\Pi }}=\frac{1}{{\mu }_0}\overrightarrow{E}\wedge \overrightarrow{B}$ tel que $d^2{U}_{em}=\overrightarrow{\mathrm{\Pi }}(M,t).{\overrightarrow{dS}}_{M}dt$, décris mvmt Eem en $W.m^{-2}$
• Bilan global Eem -> $U_{em}=\int \int \int u_{em}d\tau$, varie SI Eem sort/entre donc ${\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{\Pi }}=\int {\int }_{Sfermé}\overrightarrow{\mathrm{\Pi }}\overrightarrow{dS}=P_{sortant}$ ou SI perte énergie volumique $P_{perdu}=\int \int \int \overrightarrow{j}.\overrightarrow{E}d\tau$ donc $\frac{d{U}_{em}}{dt}+P_{sortant}=\frac{d{U}_{em}}{dt}+{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{\Pi }}=-P_{perdu}$
• Bilan local Eem -> $\frac{d{u}_{em}}{dt}+div\overrightarrow{\mathrm{\Pi }}=-\overrightarrow{j}\overrightarrow{E}$ équivaut à terme stockage + terme transfert = terme production

SITUATIONS ÉLECTROMAG VIDE

• 2 plaques $\mathrm{\infty }$ charges opposé ->

ONDES ELECTROMAG DS MILIEUX MAT

• Vitesse phase -> Vais fas oméga/caca $v_{\varphi }=\frac{\omega }{Re(k)}$ est la vit prop de la porteuse sous l'enveloppe, c'est un réel !?
• Vitess grp -> Végéta=derive Oméga DK en $k_0$ (vitesse groupe) $v_g=\frac{1}{\frac{dk}{dw}(w_0)}$ est la vit d'un nœud d'onde, vit déplacement d'énergie
• Millieu non dispersif -> ($v_{\varphi }$ dépend pas de k): $\omega$ forcément proportionnel à k, donc deux vitesses sont égales, et constantes $v_{\varphi }=v_g=cste$
• Milieu dispersif -> deux vitesses sont plus égales, dépendent de k
• $w_0$ et $k_0$ -> les pulsations et modules d'ondes moyennes du paquet d'onde, donc de la porteuse
• Différenciation -> $d(k^n)=n{k}^{n-1}dk$

ONDES DS PLASMAS

• Plasma -> ${\rho }_{tot}=0\ne -e{n}_e={\rho }_e$, $\overrightarrow{j}=\overrightarrow{0}$ (absence champ) sinon $\overrightarrow{j}=\gamma \overrightarrow{E}$, dilué donc similaire GP, $e^{-}$ non relativistes donc ${\overrightarrow{F}}_{Lorentz}=-e\overrightarrow{E}$
• Conductivité plasma -> cheche vitesse $\mathbb{C}$ PFD + loi d'Ohm $\underset{―}{\overrightarrow{j_e}}=-e{n}_e\underset{―}{\overrightarrow{v}}=\frac{n_e{e}^2}{i{m}_e\omega }\underset{―}{\overrightarrow{E}}=\underset{―}{\gamma }\underset{―}{\overrightarrow{E}}$ puis MF $\mathbb{C}$ ds MA $\mathbb{C}$ donne relation disp, sinon rot(rot(E)) puis avec gamma
• Relat° disp plasma -> MF $\mathbb{C}$ ds MA $\mathbb{C}$ donne relation disp, sinon rot(rot(E)) puis avec gamma : $k^2=\frac{w^2-w_p^2}{c^2}=(\frac{\omega }{c}{)}^2-\frac{{\mu }_0{n}_e{e}^2}{m_e}$ donc $w_p=c\sqrt{\frac{{\mu }_0{n}_e{e}^2}{m_e}}$ la pulsation plasma (pulsation de coupure)
• $\omega >{\omega }_p$ -> domaine transparent, k réel, $v_{\varphi }=\frac{wc}{\sqrt{w^2-w_p^2}}$ dépends $\omega$ donc dispersif
• $\omega <{\omega }_p$ -> $k=\pm \frac{i}{l_c}\in \mathbb{C}/\mathbb{R}$ domaine réactif: onde evanescente $\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E_0}{e}^{i\omega t}{e}^{\mp \frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{r}}{l_c}}$ pas de propagation, attenuation sur $l_c$ (Nolan réactif (rage) car pas de transport de matière (baise pas))
• Onde évanescente -> $\overrightarrow{\mathrm{\Pi }}$ est nulle en moyenne sur une oscillation
• Indice optique plasma -> $n(\lambda )=A+\frac{i^3}{{\lambda }^2}$
• Résonance -> analyse amplitude

CONDUCTEUR OHMIQUE

• Métal -> $\rho =0$, $e^{-}$ libres non relativistes => ${\overrightarrow{F}}_C=-e\overrightarrow{E}$, loi Ohm, modèle drude PFD ${\overrightarrow{f}}_{frott}=-\frac{m_e}{\tau }\overrightarrow{v}$ donc ${\overrightarrow{v}}_{lim}=-\frac{e\tau }{m_e}\overrightarrow{E}$ donc $\overrightarrow{j}=\frac{n_e{e}^2\tau }{m_e}\overrightarrow{E}$ donc $\gamma$ est $\mathbb{R}$
• Equation propagation -> rot(rot(E)) puis loi d'ohm puis passage complexes
• Relat° disp -> MF ds MA $\mathbb{C}$ : $k^2={\mu }_0{ϵ}_0{\omega }^2-i{\mu }_0\gamma \omega$
• $P_V=\frac{d{P}_{prod}}{dV}$ -> pour effet joule $P_{prod}=<Re(\overrightarrow{j}.\overrightarrow{E}){>}_{moy}=\frac{{\overrightarrow{j}}^2}{\gamma }$ si $\gamma$, j, E réels

Ondes dispersion absorption

• Poynting -> $\overrightarrow{\mathrm{\Pi }}=\overrightarrow{E}\wedge \overrightarrow{B}/{\mu }_0$ evict magnets without moo's
• Densité énergie -> $u_{em}=\frac{{ϵ}_0}{2}{E}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}{B}^2$ réécrit donne : 2/Epstein énergétique = eux sont carrés, (carte bancaire) carré
• OG E,B -> c||B||=||E|| : carte bleu E, utile trouver relation prop plasma démo avec Uem
• B tang π*, B orthog π
• E orthog π*, E tang π
• E tan(π)=0
• MG, Mphi, MF it's ma balls
• Re(k)>0 -> propagation da,ns x croissants
• Im(k)=0 -> milieu neutre; Im(k)>0 <=> amplification, sinon atténuation (dispertion)
• Milieu dispersif -> $v_{\varphi }\ne c$ alors $k=k^{\prime }+i{k}^{″}$ il y a étalement signal
• Milieu atténuateur -> diminution amp
• $k(\mathrm{\Omega }+\omega )\approx k(\mathrm{\Omega })+\omega \frac{dk}{d\omega }(\mathrm{\Omega })$ pour $\mathrm{\Omega }>>\omega$
• Paquet d'ondes: $A(\omega )\approx 0$ pour $\omega \notin [w_m-\mathrm{\Delta }\omega /2,w_m+\mathrm{\Delta }\omega /2]$, et s(z,t) est l'intégrale sur $\mathbb{R}$ de $A(\omega )e^{i(\omega t-k(\omega )z)}$
• Onde sphérique : $s(M,t)=\frac{s_0}{r}cos(\omega t+\mathrm{\Phi }(M))$ avec $\mathrm{\Phi }(M)=\pm \frac{2\pi }{{\lambda }_0}(SM)+\mathrm{\Phi }(S)$
• OPM: $s(M,t)=s_{0}cos(\omega (t\pm \frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{OM}}{c})-{\mathrm{\Phi }}_0)$
• Cable coaxial: LDM+LDN donne eq d'Al $c^2=1/\gamma \lambda$ et $k^2={\omega }^2\gamma \lambda -i\gamma (g\lambda +r\gamma )+rg$