Fiche Mnemotechnique Physique

PARTICULES QUANTIQUE

• $\lambda$ de de Broglie -> $=h/p$ est OG effets quant
• Plank réduit -> $\overline{h}=h/2\pi$
• Eq Schröd -> I acheté, hache2 deuxième des X2 = potentiellement (h réduit) $i\overline{h}\frac{d\mathrm{\Psi }}{dt}+\frac{{\overline{h}}^2}{2m}\frac{d^2\mathrm{\Psi }}{d{x}^2}=V(x,t)\mathrm{\Psi }(x,t)$
• Densité $\mathbb{P}$ présence -> $dP(x,t)=|\mathrm{\Psi }(x,t){|}^{2}dx$ et $P_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}=1$
• Relat° Heisenberg-> $\mathrm{\Delta }p\mathrm{\Delta }x\ge \overline{h}/2$ des pédés d'X ont majoré h4 la moitié du temps (h réduit)
• ES -> $|\mathrm{\Psi }|\ne f(t)$
• Solut° quant -> OPPH après hyp RS $\mathrm{\Psi }(x,t)=\mathrm{\Phi }(x)f(t)$ alors on divise par $\mathrm{\Phi }f$ et on obtiens $\frac{i\overline{h}}{f}\dot{f}(t)=\frac{-{\overline{h}}^2}{2m\mathrm{\Phi }}\frac{d^2\mathrm{\Phi }}{d{x}^2}(x)+V(x)=E_{cste}$ (seule sol cste) : résout 2 eq diff, $f(t)=f_0{e}^{-iEt/\overline{h}}=e^{-i\omega t}$ on prends $f_0=1$ sans perte de généralité
• Relat° Plank -> $E=\overline{h}\omega =h\nu$ pr ES=RS
• De Broglie -> Cache ton pèt $\overrightarrow{k}\overline{h}=\overrightarrow{p}$
• Relat° disp quant -> $\mathrm{\Phi }(x)=A{e}^{\pm kx}$ injecte ds eq diff => $E=\frac{{\overline{h}}^2{\overrightarrow{k}}^2}{2m}=\overline{h}\omega$ fourni relat° disp $\omega =\frac{\overline{h}}{2m}{\overrightarrow{k}}^2$ donc $v_{\varphi }=\frac{\overline{h}k}{2m}$ (depends k => $\mathrm{\exists }$ dispersion)
• Relat° Einstein -> $E_c=\frac{{\overrightarrow{p}}^2}{2m}=\frac{{\overline{h}}^2{\overrightarrow{k}}^2}{2m}$ ; $\overrightarrow{p}=\overline{h}\overrightarrow{k}$
• Paquet d'onde quant -> décris $p^{+}$ comme ensemble OPPM module d'onde moy $k_0$, se prop a $v_g=(\frac{d\omega }{dk})(k_0)=\frac{\overline{h}{k}_0}{m}$ et $l_c=\mathrm{\Delta }x\approx 1/\mathrm{\Delta }k$ la largeur spectrale (retrouve cas lim $\mathrm{\Delta }x$ ou $\mathrm{\Delta }k\to 0$)
• Vect densité $\mathbb{P}$ -> $\overrightarrow{j}=\frac{\overline{h}\overrightarrow{k}}{m}|\mathrm{\Psi }(x,t){|}^2$ car $\overrightarrow{j}=\frac{\overrightarrow{p}}{m}\rho$
• Continuité quant -> $\mathrm{\Phi }(x)$ $\mathcal{C}$ ($\overline{m}$ si V(x) $\ne \mathcal{C}$), diverge pas en norme, $\frac{d\mathrm{\Phi }}{dx}(x)$ $\mathcal{C}$ si V(x) finie
• Coef réflexion -> $r=B_I/A_I$
• Marche pot -> passe en $I$ de pot nulle à $V_0$ en $II$ : OPPM ${\mathrm{\Phi }}_I(x)=A_I{e}^{i{k}_{I}x}+B_I{e}^{-i{k}_{I}x}$ partie incidente/réfléchie où $k_I=\frac{\sqrt{2mE}}{\overline{h}}$
• Cas E>V° -> sol OPPM $\frac{-{\overline{h}}^2}{2m}\frac{d^2{\mathrm{\Phi }}_{II}}{d{x}^2}(x)=(E-V_0){\mathrm{\Phi }}_{II}(x)$ => $\frac{{\overline{h}}^2{k}_{II}^2}{2m}=E-V_0$ => $k_{II}=\frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\overline{h}}$ et $B_{II}=0$ car prop $e^{-}$ vers metal
• Transf energie -> $j_i=\frac{\overline{h}k}{2m}|A_I{|}^2{\overrightarrow{u}}_x$ , $j_r=-\frac{\overline{h}k}{2m}|B_I{|}^2{\overrightarrow{u}}_x$ et $j_t=|A_{II}{|}^2\frac{\overline{h}k}{m}{\overrightarrow{u}}_x$
• Solut° -> CL ${\mathrm{\Phi }}_I(0)={\mathrm{\Phi }}_{II}(0)$ idem $\dot{\mathrm{\Phi }}$ donc $A_I+B_I=A_{II}$ (1) et $i{k}_I{A}_I-i{k}_I{B}_I=i{k}_{II}{A}_{II}$ (2) => $r=B_I/A_I=\frac{k_I-k_{II}}{k_I+k_{II}}$ , $t=\frac{2k_I}{k_I+k_{II}}$ et (1)+(2)/$k_I$ => $A_{II}/A_I=\frac{2k_I}{k_I+k_{II}}$, (1)-(2)/$i{k}_{II}$ => $B_I/A_I=\frac{k_I-k_{II}}{k_I+k_{II}}$ alors $\mathrm{\Psi }(x,t)=A_I{e}^{-itE/\overline{h}}(e^{i{k}_{I}x}+r{e}^{-i{k}_{I}x})$ x<0 et $=A_{I}t{e}^{-itE/\overline{h}}{e}^{i{k}_{II}x}$ x>0
• $\mathbb{P}$ trans/reflect° -> $R=j_r/j_i=|r{|}^2$ et $T=j_t/j_i=\frac{k_{II}}{k_I}|t{|}^2$
• Cas E<V° -> $E-V_0<0$ donc ${\mathrm{\Phi }}_{II}(x)=A_{II}{e}^{-k_{II}x}+B_{II}{e}^{k_{II}x}$ or div pas en |.| => $B_{II}=0$ => $k_{II}=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\overline{h}}=\frac{1}{\delta }$ lc d'attentuat°, donc ${\mathrm{\Psi }}_{II}(x,t)=A_{II}{e}^{-itE/\overline{h}}{e}^{-x/\delta }$ onde évanescente
• $l_c$ d'atténuat° -> minimale E=0, tends $+\mathrm{\infty }$ $E\to V_0$
• Barrière de pot E<$V_0$ -> $V(x)=V_0$ pr $x\in [0,a]$ ($II$) sinon nulle :
• Approx barrière épaisse -> $\delta <<a$ : $T=\frac{16E(V_0-E)}{V_0^2}{e}^{-2a/x}$ det $\mathbb{P}$ passage
• Ep p+ confiné -> $Ep=-\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_{0}d}$ >0 => ionisat°
• Puits pot inf 1D -> V(x)=$+\mathrm{\infty }$ (sauf $II$ $[0,a]$ V=0) => $\mathrm{\Psi }=0$ sinon div : en $II$ où $\mathrm{\Phi }(x)=Acos(k_{II}x)+Bsin(k_{II}x)$ car Ec=E>0 or $\mathrm{\Phi }(0)=A=0$ et $\mathrm{\Phi }(a)=0=Bsin(k_{II}a)$ => $\mathrm{\Phi }(x)=Bsin(\frac{n\pi }{a}x)$ or normalisat° => ${\int }_0^a{\mathrm{\Phi }}^2=B^2/2[x-\frac{a}{2n\pi }sin(2\frac{n\pi x}{a}){]}_0^a=B^{2}a/2=1$ donc $B=\pm \sqrt{2/a}$ donc$\mathrm{\Psi }(x,t)=\pm \sqrt{2/a}{e}^{-itE/\overline{h}}sin(\frac{n\pi }{a}x)$
• Modes propres puits inf -> $k_n=\frac{n\pi }{a}$ et $E_n=\frac{{\overline{h}}^2{\pi }^2}{2m{a}^2}{n}^2$ fondamentale n=1 sinon excité, quantificat° E avec E1 min, En ++ si a --
• Confinement quant ->

LASER

• Abs/emission $\gamma$ spont -> $E_{\gamma }=E2-E1$, $\gamma$ émis direct°, phase, polarisat° aléa
• Abs/em stimulée -> $\gamma$ tq $\nu =(E2-E1)/h$ induit désexcitat° et ém $\gamma$ identique
• Pop nvx E -> n(Ei)=nb at/mol ds état Ei
• $\mathbb{P}$ transit° \ temps -> pr at excité $d{P}_{em,s}=P_{em,s}dt$ et idem em induit, pr état fond absorbe $d{P}_{abs}=P_{abs}dt$
• Coefs Einstein -> $P_{em,s}=A_{21}$ , $P_{em,i}=B_{21}{u}_{\nu }$ et $P_{abs}=B_{12}{u}_{\nu }$
• Densité spectrale en E-> $E_{lum}={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{u}_{\nu }d\nu$
• Evol pop -> sys={N at à E1 ou E2}, en dt : $d{n}_{E1}=n_{E1}(t+dt)-d{n}_{E1}(t)$ $=n_{E2}(P_{em,s}+P_{em,i})dt-n_{E1}{P}_{abs}dt$ donc $\dot{n_{E1}}=n_{E2}{P}_{em,s+i}-n_{E1}{P}_{abs}=-\dot{n_{E2}}$ car $n_{E1}+n_{E2}=N$
• Emission sans $\gamma$ -> $n_{E2}(t=0)=N$ donc $P_{em,s}{n}_{E2}=A_{21}{n}_{E2}=-\dot{n_{E2}}$ => $n_{E2}(t)=N{e}^{-A_{21}t}=N-n_{E1}(t)$ donc 1/$A_{21}$ est ${\tau }_c$ durée vie état excité
• Laser -> ém,i doit dominer => milieu amplificateur
• Invers° pop -> n(E2)>n(E1) sinon faisceau sortie + faible celle d'entrée
• Pompage optique -> gaz entre 2 miroirs reçoit énergie de pompage, permet inv pop donc faisceau quasi monochr parallèle = source cohérente
• Faisceau gaussien -> faisceau qui s'elargi $s(r,z,t)=s_0\frac{w_0}{w(z)}{e}^{-(r/w(z){)}^2}\times e^{i(wt-kx)}\times e^{i(\frac{k{r}^2}{2R(z)}-\mathrm{\Phi }(z))}$ ds l'ordre terme amp x prop x phase : $w_0$ waist faisceau, $w(z)=w_0\sqrt{1+(r/z_R{)}^2}$ la largeur typique du faisceau, $\mathrm{\Phi }(z)=arctan(z/z_R)$, $z_R=\pi w_0^2/\lambda$
• Éclairement -> $ϵ(M)=KI(M)$$=K<s^2(M,t)>$ $=\frac{K}{2}|s{|}^2$
• Évol w(z) -> $w_0$ qd $z\to 0$ et $\approx w_0(z/z_r)$ en $+\mathrm{\infty }$
• Angle ouverture -> cas $z>>z_R$, $w(z)/z=tan(\theta )\approx \theta$ donc $\theta \approx w_0/z_R$