Fiche Mnemotechnique Physique

MECA FLU CINÉMATIQUE

• Eulérienne VS Lagrangienne -> champs vect + pot vitesses VS suivre particules sur leur trajectoire
• Dérivée parti -> $\frac{D\overrightarrow{v}}{Dt}=\dot{\overrightarrow{v}}+(\overrightarrow{v}\overrightarrow{grad})\overrightarrow{v}$
• Écoulement parfait -> phénomènes diffusifs négligeables (thermique, viscosité...) => $\nu \to 0$=> couche limite $\delta \to 0$ et fluide évolue façon rév or diff ${\theta }^{ique}$ nég => adia donc isentropique (invariance prop phys en f° de la direction)
• Écoul irrotationnel -> DEPENDS DU REF, $\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{v})=\overrightarrow{0}$ donc $(\overrightarrow{v}\overrightarrow{grad})v=\overrightarrow{grad}(v^2/2)$, sinon $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}=1/2\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{v})$ tourdemiron (vecteur tourbillon)
• Debit m -> $m=D_{m}dt$, $D_m=\int \int {\overrightarrow{j}}_m\overrightarrow{dS}$ avec ${\overrightarrow{j}}_m=\mu \overrightarrow{v}$
• Ecoul stat -> $div{\overrightarrow{j}}_m=0$ donc flux cons donc $D_m$ conservé (loi des mailles $D_{me}=D_{ms1}+D_{ms2}$)
• Débit vol -> $D_V(t)=\int \int \overrightarrow{v}\overrightarrow{dS}$
• Écoul incomp -> V particule fluide cste lors écoul $div(\overrightarrow{v})=0$ (flux conservatif) => $D_V$ cons donc $v_1{S}_1=v_2{S}_2$ ds conduite
• Tube champ -> surface fictive $\overrightarrow{v}$ tangent surface tt pt
• Potentiel vitesses pr écoul irot -> $\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{grad}(\mathrm{\Phi })$, $\mathrm{\Phi }(M,t)$ définie à f(t) près, $\overrightarrow{v}$ orthog aux surfaces isopot

MÉCA FLU FORCES

• Forces volumiques -> $\overrightarrow{f_p}=\mu (M,t)\overrightarrow{g}$ , $\overrightarrow{f_{ie}}=-\mu \overrightarrow{a_e}$ , $\overrightarrow{f_{ic}}=-\mu \overrightarrow{a_c}$
• Pression -> $\overrightarrow{f_p}=-\overrightarrow{grad}(P(M,t))$ et force pression localement = P(M,t) $\overrightarrow{dS}/dS$
• Viscosité de cisaillement -> vit dirigée axe mais dépends autre variable : ${\overrightarrow{F}}_{tan}=\eta \frac{d{v}_x}{dy}\overrightarrow{u_x}$ dans le cas $\overrightarrow{v}=v_x(y)\overrightarrow{u_x}$, localement sur particule de fluide ${\overrightarrow{f}}_{visc}=\eta \mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}(M,t)$ (dérivée seconde)
• Viscosité dynamique -> $\eta$ en Poiseuille (Pa.s)
• Nombre de Reynolds -> $Re=\frac{UL\rho }{\mu }=\frac{UL}{\nu }$ avec $\nu =\frac{\mu }{\rho }$ : ($ren=ulu$ "Kylo Ren at Uluru")
• Re permet de comparer -> NS le terme visqueux $\eta \mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ et convectif $\mu (\overrightarrow{v}.\overrightarrow{grad})\overrightarrow{v}$ car $\frac{||\mu (\overrightarrow{v}.\overrightarrow{grad})\overrightarrow{v}||}{||\eta \mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}||}\approx \frac{\mu U^2/L}{\eta U/L^2}=\frac{\mu UL}{\eta }=Re$
• $Re<<1$ peu => visqueux (domine), $Re>>1$ significatif => convectif (domine)
• Sphere solide ds un fluide -> $Re<1$ : Loi de Stokes ${\overrightarrow{F}}_{trainee}=-6\pi \eta R\overrightarrow{v}$ ; $Re\in [{10}^3;2\ast {10}^5]$ ${\overrightarrow{F}}_{trainee}=-\mu \frac{1}{2}{C}_x\pi R^2||\overrightarrow{v}||\overrightarrow{v}$
• Ftrainee -> prop v bas Re, $v^2$ haut Re : forme générale $-1/2C_x(Re)\mu \pi (D/2{)}^2||\overrightarrow{v}||\overrightarrow{v}$ (deux cas $C_x=4/Re=4\eta /(||\overrightarrow{v}||D\mu )$ ou $C_x=cste$)
• Coefficient de traînée -> $C_x=\frac{F_x}{(1/2)\rho v^{2}S}$

MÉCA FLU DYNAMIQUE

• Eq de Navier Stokes -> $\mu (\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}+(\overrightarrow{v}.\overrightarrow{grad})\overrightarrow{v})$=$-\overrightarrow{grad}(P)+\eta \mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}+\overrightarrow{f_{vol}}$
• Statique fluide -> NS fluide repos
• Eq d'Euler -> néglige la viscosité ds NS
• Épaisseur couche limite -> zone ou effets visquex dominent, $\delta =\frac{L}{\sqrt{Re}}=\sqrt{\frac{\mu }{f}}$ avec f freq caract, $\mathrm{\exists }$ deux cas couche limite infinie ou négligeable
• Plaque en translat° -> L=v.t, $Re=v^{2}t\mu /\eta$, $\delta =\sqrt{\frac{\eta t}{\mu }}$ augement avec temps
• Condit° lim paroi -> $\overrightarrow{v}(P,t){\overrightarrow{n}}_p={\overrightarrow{v}}_{paroi}(t){\overrightarrow{n}}_p$ paroi imperméable, $\overrightarrow{v}(P,t){\overrightarrow{t}}_p={\overrightarrow{v}}_{paroi}{\overrightarrow{t}}_p$ couche lim (si paroi statique CL v=0 )
• Interface flu flu -> Continuité vit, P, contraintes tangentielles (des forces tan de chaque côté de l'interface eg $\eta \mathrm{\Delta }v$)
• Bernoulli pr fluide SPH soumis $f_{vol}={\mu }_{0}g$ -> $\frac{v(A{)}^2}{2}+\frac{P(A)}{{\mu }_0}+g{z}_A$ = $\frac{v(B{)}^2}{2}+\frac{P(B)}{{\mu }_0}+g{z}_B$
• Bernoulli SIPH -> (Stat irrot parfait homogène) (un SIPHon font font les petites marionnettes)
• Loi Poiseuille -> debit vol prop à $\mathrm{\Delta }P$ : $D_V={\int }_{r=0}^R{\int }_{\theta =0}^{2\pi }v(r)rd\theta dr$ = $\frac{\pi R^4}{8\eta L}(P_e-P_S)$

SITUATIONS MÉCA FLU

• Fluide rot -> ref tournant (R) vit $\omega$, $d{\tau }_M({\overrightarrow{f}}_g+{\overrightarrow{f}}_p+{\overrightarrow{f}}_{ie}+{\overrightarrow{f}}_{ic})=\overrightarrow{0}$ or $\overrightarrow{grad}(P)=\frac{dP}{dr}{\overrightarrow{u}}_r+\frac{1}{r}\frac{dP}{d\theta }+\frac{dP}{dz}$ en cyl, coriolis nulle, alors proj $\frac{dP}{dr}=\mu {\omega }^{2}r$ et $-\frac{1}{r}\frac{dP}{d\theta }=0$ => $P(r,z)=\mu \frac{(\omega r{)}^2}{2}+g(z)$ (P dépends r,z) donc $P(M)=-\mu gz+h(r)$ et $P(M)=\mu \frac{(\omega r{)}^2}{2}-\mu gz+cste$ et à la surface continuité P => $z=\frac{w^2}{2g}{r}^2+cst{e}^{\prime }$ (courbé)
• Ecoule Poiseuille -> RS, $\overrightarrow{v}(M)=v(r){\overrightarrow{u}}_z$ par sym, donc $(\overrightarrow{v}.\overrightarrow{grad})\overrightarrow{v}=v\frac{\delta }{\delta z}v{\overrightarrow{u}}_z=\overrightarrow{0}$ alors NS $\overrightarrow{grad}(P)=\eta \mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$, CL $\dot{\overrightarrow{v(r)}}\to 0$ => $v(r)=\frac{P_S-P_e}{4\eta L}{r}^2-\frac{R^2(P_S-P_e)}{4\nu L}$
• Écoule Couette (2 plaques $\mathrm{\infty }$ séparés h) -> RP $\overrightarrow{v}(M)=v(y){\overrightarrow{u}}_x$ => terme convectif nulle, garde $\eta \mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}=\frac{d^{2}v}{d{y}^2}{\overrightarrow{u}}_x$, poids, pression => NS proj + CL $P=-\mu gy+cste$, $v(y)=ay+b=\frac{v_0}{h}y$ et ${\overrightarrow{F}}_{flu\to paroi}=-\eta v_0/h{\overrightarrow{u}}_x$
• Bernoulli -> SIPH, $\mathrm{\exists }!$ poids, $\overrightarrow{grad}(\mu v^2/2)=-\overrightarrow{grad}(P+\mu gz)$ donc $\frac{v^2}{2}+\frac{P}{\mu }+gz=cste$ (si c'est tourb alors FAUT appliquer entre 2 pts)
• Effet Venturi -> Tuyau se resserre, incomp => cons $D_V=S_A{v}_A=S_B{v}_B$ => FB $P(A)>P(B)$ en fonction sens resserrement
• Formule Toricelli -> Cyclindre avec trou en B, ecoul incomp et admis P°=$P_{A\in surface}=P_{trou}$, FB $g(z_a-z_b)=(1/2)(v^2(A)-v^2(B))$ puis cons $D_V$ $v(B)=v(A)\frac{S_A}{S_B}>>v(A)$ nég v(A) avec venturi, $v_{trou}=\sqrt{2g(z_{surf}-z_{trou})}$
• Tube Pitot -> Capteur vitesse 2 entrées, $v_0$ à l'inf, petite ouverture => neg $\mathrm{\Delta }z$, 2xFB ds les 2 trous entré, $v_{haut}=\sqrt{\frac{2}{\mu }(P(A)-P(S))}$ ~ $v_0$ donc et h entre surfaces fluides prop P(A)-P(S)
• Courbure LdC/portance -> $v(M,t)=v(r){\overrightarrow{u}}_{\theta }$, fvol nég, Eq d'Euler $\overrightarrow{grad}(P)=\mu \frac{v^2}{r}{\overrightarrow{u}}_r$ pression augm centre courbure vers périphérie
• Bilan énergie RP en dt -> ds tube $d{E}_m=D_{m}dt(\frac{1}{2}{v}_1^2+\frac{1}{2}{v}_2^2+g(z_2-z_1))$=$d{W}_p+Pdt=-P_2\frac{dm}{\mu }+-P_1\frac{dm}{\mu }+Pdt$

BILANS MACRO SUR $\sum$ OUVERT

• Cons masse bilan-> $\frac{\delta \mu }{\delta t}$=-$\frac{\delta \mu v}{\delta x}$ s'établit avec $\sum (t)$ et $\sum (t+dt)$ (change de longeur, etablir diag ven zones) avec $V_{sys}(t)=[x_A-x_B]S$ et vit $v_{sys}(x,t)$ et $\mu (x,t)$ en supposant m cste, avec $x_B-x_A=dx$ et $x_A^{\prime }-x_A$~0 à l'ordre le plus bas
• Qtité mvmt bilan-> $d{\overrightarrow{p}}_{\sum }=\overrightarrow{p}(t+dt)-\overrightarrow{p}(t)$=$\sum {\overrightarrow{F}}_{ext}dt$, 3 zones a,m,b alors $d\overrightarrow{p}=m_b{\overrightarrow{v}}_b-m_a{\overrightarrow{v}}_a$=$D_{m}dt\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ car stat, $\mathrm{\exists }{\overrightarrow{F}}_{paroi->flu}$ et ${\overrightarrow{F}}_g$=$P_a{S}_a{\overrightarrow{u}}_x$, ${\overrightarrow{F}}_d$=-$P_b{S}_b{\overrightarrow{u}}_x$ puis PFD et $D_m=\mu v_a{S}_a=\mu v_b{S}_b$
• Poiseuille bilan -> cylindre sect° S en RS, force cisaille ${\overrightarrow{dF}}_{cis}=\eta \frac{dv}{dr}2\pi r_{0}dx{\overrightarrow{u}}_x$ et de pression ${\overrightarrow{F}}_G=p_1\pi r_0^2{\overrightarrow{u}}_x$ et ${\overrightarrow{F}}_D=-p_2\pi r_0^2{\overrightarrow{u}}_x$, 3 zones, retrouve loi avec $d{p}_{\sum }=0$
• Écoule parfait incomp -> $W_{forcesint}=0$ admis
• Bilan Ec -> $d{E}_c=\delta W_F=P_{F}dt=-d{E}_p+\delta W_{Fnc}$
• Bilan pompe -> RP, écoule parfait incomp, 3 zones, zone commune Ec=cste, bilan $W_F$ entrée sortie press et puis $W_{poids}=g(m_a{z}_a-m_b{z}_b)$, donc exp dEc vitesses puis puiss donne $P_{pompe}=[\frac{P_b-P_a}{\mu }+1/2(v_b^2-v_a^2)$+$g(z_b-z_a)]D_m$ presque formule Bernoulli