Ondes matériels

ONDES MEC DS SOLIDES

Chaine ressorts -> variable réduite $ξ_{n} = x_{n} - x_{n, e q}$ avec $x_{n, e q} - x_{n - 1, e q} = a$ avec PFD, approx milieux continues => $ξ (x, t)$ , donne $c = \sqrt{\frac{k a^{2}}{m}}$
Cas général solide cristalin -> $c = \sqrt{\frac{E}{μ_{l}}}$
Loi de Hooke -> j'ai rompu avec ma copine, il me manque DL = Elle et Fes/sES $Δ L = \frac{L F}{E S}$
Corde -> eq d'al $c = \sqrt{\frac{T_{0}}{μ_{l}}}$ avec projections corde inextensible et $t a n (α)$
Corde de Melde -> $λ_{n} = \frac{2 L}{n}$ et $ν_{n} = \frac{n c_{0}}{2 L}$

ONDES ACOUSTIQUES

Déform milieu mat -> $P (M, t) = P_{0} + p_{1}$ supress° = pression acoustique, $u_{1} (M, t)$ vitesse, $ρ (M, t) = ρ_{0} + ρ_{1} (M, t)$ masse vol
Domaines sonores -> infrasons < 20Hz, audibles 20 Hz - kHz, ultrasons > 20 kHz
Approx acoustique -> $| p_{1} | << P_{0}$ , $| ρ_{1} | << ρ_{0}$ et $| v_{1} | << c_{s o n}$
Tuyau sonore (M1) -> $d m = ρ_{0} S d x$ , au passage onde masse bouge en $[x + ξ (x), x + d x + ξ (x + d x)]$ , alors $d m = (ρ_{0} + ρ_{1} (x, t)) S (\frac{δ ξ}{δ x} + 1) d x$ => nég $ρ_{1} \dot{ξ}$ terme ordre sup $μ_{0} \frac{δ ξ}{δ x} = - μ_{1} (x, t)$ eq1 or $\sum {\vec{F}}_{l a t} = \vec{0}$ , PFD $d m \frac{δ^{2} ξ}{δ x^{2}} {\vec{u}}_{x} = {\vec{F}}_{p} (x + d x) + {\vec{F}}_{p} (x)$ $= (- P (x + d x) + P (x, t)) S {\vec{u}}_{x} = - S \frac{δ P}{δ x} d x {\vec{u}}_{x}$ donc $ρ_{0} \frac{δ^{2} ξ}{δ x^{2}} = - \frac{δ p_{1}}{δ x}$ eq2
EE acoustique (M2) -> OG $\frac{v^{2} / L^{*}}{v / τ^{*}} = \frac{v}{c}$ <<1 donc néglige terme convectif, 1ier ordre $ρ_{0} \frac{\partial v_{1}}{\partial t} = - \frac{\partial p_{1}}{\partial x}$ eq2, eq cons masse $\frac{\partial ρ_{1}}{\partial t} + ρ_{0} \frac{\partial v_{1}}{\partial x} = 0$ eq1
Masse vol GP -> $ρ = n M / V = P M / R T$
Masse vol gén -> $ρ (P) = ρ (P ° + p_{1})$ = $ρ_{0} + p_{1} \frac{δ ρ}{δ P} (P °)$ donc $ρ_{1} = p_{1} \frac{δ ρ}{δ P} (P °) = p_{1} ρ_{0} χ_{0}$ eq3
Compressibilité fluide -> ki dériverait mu/mu0 pour un pet en p0 : $χ_{0} = \frac{1}{ρ_{0}} \frac{\partial ρ}{\partial P} (P °)$ avec $χ_{S}$ ds cas évolut° isoS, en $P a^{- 1}$
Eq d'Al acoust -> $Δ p_{1} = \frac{1}{c^{2}} \frac{δ^{2} p_{1}}{δ t^{2}}$ et idem $v_{1}$ et $ρ_{1}$ avec $c = \frac{1}{\sqrt{ρ_{0} χ_{0}}}$
Célerité GP -> c'est carré = Gamora t'est ou, mmm $c^{2} = \frac{γ R T °}{M}$
Impédance acoust -> $Z a = \frac{p_{1}}{v_{1}} = c ρ_{0} = \sqrt{\frac{ρ_{0}}{χ_{S}}}$ démo avec OPP pr $p_{1}$ , $v_{1}$ (- $Z a$ si sens inverse), (imPeDANCE p/v)
Densité vol $e_{c}$ -> $e_{c} (M, t) = \frac{1}{2} ρ_{0} v_{1}^{2} (M, t)$
Densité vol $e_{p}$ -> $E = \int \int \int e d τ$ avec $e_{p} (M, t) = \frac{1}{2} χ_{S} p_{1}^{2} (M, t)$
Densité vol e -> $e = e_{c} + e_{p}$
Propagation e -> $Δ e = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} e}{δ t^{2}}$
Vect densité courant -> $\vec{Π} = P (M, t) \vec{v_{1} (M, t)}$
Puissance traversant surface -> $P = \int \int \vec{Π} \vec{d S}$
Bilan E -> $\frac{\partial E}{δ t} = \int \int \int \frac{\partial e}{δ t} d τ = - \int \int_{S f e r m é} \vec{Π} \vec{d S}$
Eq cons e -> $\frac{\partial e}{δ t} + d i v (\vec{Π}) = 0$
Intensité sonore -> $I (M) =< \vec{Π} . \vec{n} >$ et $I_{d b} = 10 l o g (\frac{I}{I_{0}})$
Effet doppler -> $f_{r e c u} = f_{0} \div (1 + \frac{v}{c})$
3D -> $\vec{r o t} (\vec{r o t} (\vec{v})) = \vec{0}$ car eq Eul $\vec{r o t} (ρ_{0} \frac{d \vec{v}}{d t}) = \vec{r o t} (\vec{g r a d} (p_{1})) = \vec{0}$ d'après prop 1 et Swartz => permuter dérivée et rotationnel

	Electromag	Acoust
Vit	$c = \frac{1}{\sqrt{ϵ_{0} μ_{0}}}$	$c = \frac{1}{\sqrt{χ_{S} ρ_{0}}}$
Imp	$Z = E / H = \sqrt{\frac{μ_{0}}{ϵ_{0}}}$	$Z_{a} = p_{1} / v = \sqrt{\frac{ρ_{0}}{χ_{S}}}$
nrj	$e = \frac{1}{2} ϵ_{0} E^{2} + \frac{1}{2} μ_{0} H^{2}$	$e = \frac{1}{2} ρ_{0} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} χ_{S} p_{1}^{2}$
Poy	$\vec{Π} = \vec{E} \land \vec{H}$	$\vec{Π} = p_{1} \vec{v_{1}}$

$\vec{B} = μ_{0} \vec{H}$

INTERFACES ENTRE MILIEUX

Situat° -> onde incidente/transverse/réfléchie
$C$ à l'interf -> $(p_{i} + p_{r}) (0, t) = p_{t} (0, t)$ eq1 et $(v_{i} + v_{r}) (0, t) = v_{t} (0, t)$ <=> $(\frac{p_{i}}{z 1} + \frac{p_{r}}{z 1}) (0, t) = \frac{p_{t}}{z 2} (0, t)$ eq2
Coef reflect° amp -> $r_{p} = (p_{r} / p_{i}) (0, t)$ or eq1 + $Z_{1}$ eq2 => $r_{p} = \frac{Z 2 - Z 1}{Z 1 + Z 2}$
Coef trans amp -> $t_{p} = (p_{t} / p_{i}) (0, t)$ or eq1 + $Z_{2}$ eq2 => $t_{p} = \frac{2 Z 2}{Z 1 + Z 2}$
Coef reflect° vit -> $r_{u} = (u_{r} / u_{i}) (0, t)$ = $\frac{Z 1 - Z 2}{Z 1 + Z 2} = - r_{p}$
Coef trans vit -> $t_{u} = (u_{t} / u_{i}) (0, t) = \frac{Z 1}{Z 2} t_{p}$
Transmission E -> $\vec{Π_{i}} = p_{i} {\vec{u}}_{i} = p_{i}^{2} / Z_{1} {\vec{u}}_{x} = - (\frac{p r}{p i})^{2} {\vec{Π}}_{r}$ et $\vec{Π_{t}} = p_{t} {\vec{u}}_{t} = p_{t}^{2} / Z_{2} {\vec{u}}_{x}$
Transmiss° $C$ -> $< {\vec{Π}}_{i} >= \frac{1}{2} R e (\frac{{\vec{E}}_{i} \land {\vec{B}}_{i}^{*}}{μ_{0}})$
$R = \frac{< | | {\vec{Π}}_{r} | | >}{< | | {\vec{Π}}_{i} | | >} (x = 0) = - r_{p} r_{u} = r_{p}^{2}$ et $T = \frac{< | | {\vec{Π}}_{t} | | >}{< | | {\vec{Π}}_{i} | | >} (x = 0) = t_{p} t_{u} = t_{p}^{2} \frac{Z 1}{Z 2}$ tels que T+R=1
Adaptation d'interf -> ajout milieu d'imp $Z_{i n t}$ compris entre $Z_{1}$ et $Z_{2}$
MLHI -> eq caract lin + prop milieu indep post° et dir prop
Indice $C$ -> $n = \frac{k (ω)}{k_{0}} = k (w) \frac{c}{ω}$ et $n = n^{'} + i n^{″}$ indice d'absorpt° et de refract°
Milieu diélectrique -> charges liées, force de rappel $e^{-}$ restent près noyau
Milieu polarisable (GP) -> $e^{-}$ élastiquement liées ${\vec{F}}_{k}$
On admet continuité champs EM à l'interface pour incidence normale
Interface EM -> Idem E, B : admet ${\vec{B}}_{i} = \frac{{\vec{k}}_{i} \land {\vec{E}}_{i}}{ω} = \frac{n_{i}}{c} {\vec{u}}_{i} \land {\vec{E}}_{i}$